Dwa równania z dwiema niewiadomymi – przykłady

Poniższe zależności między dwiema wielkościami można opisać za pomocą dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Równania te zapiszemy w postaci układu równań.

Przykład 1. Obwód prostokąta jest równy 72 cm. Jeden z jego boków jest 3 razy dłuższy od drugiego.

Niech x oznacza długość krótszego boku, y – długość drugiego boku.

  • Zależność między długościami boków prostokąta a jego obwodem opiszemy zatem równaniem: 2x + 2y  =  72.
  • Zależność między bokami tego prostokąta można opisać równaniem: y  =  3x.

Obie zależności dotyczą tych samych wielkości. Zamiast więc pisać: 2x + 2y  =  72 i jednocześnie y  =  3x, zapisujemy równania jedno pod drugim i łączymy je klamrą:

    {2x + 2y  =  72y  =  3x

Taki zapis dwóch równań nazywamy układem dwóch równań, w skrócie układem równań.

Przykład 2. Mama i córka mają w sumie 72 lata. Różnica wieku matki i córki wynosi 22 lata.

Jeśli przez x oznaczymy wiek matki, a przez y wiek córki, to z pierwszego zdania wynika, że x + y  =  72. Drugie zdanie można zapisać w postaci równania x − y  =  22.

Sytuację z zadania możemy opisać za pomocą układu równań {x + y  =  72x − y  =  22

Układy równań z dwiema niewiadomymi – przykłady

{x + y  =  72x − y  =  22

to przykład układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi (lub krótko układu równań). Są to dwa równania powiązane ze sobą, czyli opisujące te same dwie wielkości (oznaczane najczęściej x i y ), które są w określonych związkach między sobą. Układ równań zapisujemy z użyciem klamry.

Inne przykłady układów równań:

{2x + y  =  20x − 2y  =  −15
{0, 5x  =  y2x + 4y  =  2     
{x + 13y  =  0x − y − 14  =  0

Rozwiązanie układu równań (para liczb spełniających układ równań)

Rozwiązanie układu równań to para liczb spełniających układ równań, czyli takie dwie liczby, które spełniają i jedno, i drugie równanie.

Przykład 1. Układ, który ma jedno rozwiązanie

Dany jest układ równań {3x + y  =  −1x + y  =  3,

który ma jedno rozwiązanie. Sprawdźmy, która para liczb a)b) czy c) spełnia ten układ.

a) {x  =  0y  =  −1 b) {x  =  2y  =  1 c) {x  =  −2y  =  5


Rozwiązanie:

Do obu równań układu {3x + y  =  −1x + y  =  3

w miejsce x i y podstawiamy podane liczby z każdej pary. Sprawdźmy, czy lewa strona każdego równania jest równa prawej.

a) Dla pary {x  =  0y  =  −1  :

    {−1  =  −1−1  ≠  3


Zatem para (0, −1) nie spełnia tego układu, bo nie spełnia drugiego równania.

b) Dla pary {x  =  2y  =  1  :

    {7  ≠  −13  =  3


Zatem para (2, 1) nie spełnia tego układu, bo nie spełnia pierwszego równania.

c) Dla pary {x  =  −2y  =  5  :

    {−1  =  −13  =  3


Zatem para (−2, 5) spełnia ten układ, bo spełnia oba równania.


Przykład 2. Układ, który ma nieskończenie wiele rozwiązań

Przyjrzyjmy się układowi {x + y  =  32x + 2y  =  6

Drugie równanie powstało z pierwszego po pomnożeniu obu stron pierwszego równania przez 2.

Otrzymaliśmy układ równań, które są równoważne. Każda para liczb, która jest rozwiązaniem pierwszego równania jest jednocześnie rozwiązaniem drugiego równania, np.

* dla {x  =  1y  =  2 otrzymujemy równania prawdziwe: {1 + 2  =  32 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2  =  6

* dla {x  =  0y  =  3 także otrzymujemy równania prawdziwe: {0 + 3  =  32 ⋅ 0 + 2 ⋅ 3  =  6

Takich par możemy znaleźć nieskończenie wiele. Pierwszą z liczb wybieramy dowolnie, np. x  =  1, a drugą wyznaczymy z równania 1 + y  =  3 (stąd y  =  2 ).

Układ {x + y  =  32x + 2y  =  6 ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 3. Układ, który nie ma rozwiązań

Przyjrzyjmy się układowi {x + y  =  3x + y  =  1

Lewe strony obu równań są takie same, natomiast prawe są różne. Para liczb, która będzie rozwiązaniem pierwszego równania nie będzie jednocześnie rozwiązaniem drugiego równania, np.

* dla {x  =  1y  =  2 pierwsze równanie jest prawdziwe, a drugie nie: {1 + 2  =  31 + 2  ≠  1

* dla {x  =  1y  =  0 drugie równanie jest prawdziwe, ale pierwsze nie: {1 + 0  ≠  31 + 0  =  1


Nie znajdziemy takiej pary liczb, która spełniałaby oba równania jednocześnie.

Układ {x + y  =  3x + y  =  1 nie ma rozwiązań.

Przykład 4. Do danego równania −3x + 4y  =  18 dopiszemy drugie równanie takie, aby utworzony układ równań był spełniony przez parę liczb x  =  −2 i y  =  3.

Zauważ, że pierwsze równanie jest spełnione np. przez parę (−2, 3), bo −3 ⋅(−2)+ 4 ⋅ 3  =  18.

Drugie równanie może mieć więc np. postać x + y  =  1, bo −2 + 3  =  1. Utworzony wtedy układ zapiszemy tak:

{−3x + 4y  =  18x + y  =  1

Drugie równanie może też wyglądać tak: 2x − 3y  =  −13, bo 2 ⋅(−2) 3 ⋅ 3  =  −13. Wtedy utworzony układ zapiszemy tak: {−3x + 4y  =  182x − 3y  =  −13


Kolejny pomysł na drugie równanie to: x − 4y  =  −10, bo (−2) 4 ⋅ 3  =  2 − 12  =  −10. Zapiszemy więc układ: {−3x + 4y  =  18x − 4y  =  −10


Wszystkie otrzymane układy równań:
{−3x + 4y  =  18x + y  =  1,

{−3x + 4y  =  182x − 3y  =  −13,

{−3x + 4y  =  18x − 4y  =  −10

są równoważne, ponieważ są spełnione przez tę samą parę liczb {x  =  −2y  =  3,

inaczej mówiąc mają takie same rozwiązania.

Uwaga! Same drugie równania w powyższych układach nie są równoważne, bo nie da się przekształcić jednego równania w drugie, np. x + y  =  1 w

2x − 3y  =  −13.

Przykład 5. Wyznaczmy liczby po prawej stronie poniższych równań tak, aby para liczb (−1, 2) spełniała układ równań.

a) {2x − y  =  ...x + 3y  =  ...         b) {−3x + 4y  =  ...2x − 5y  =  ...       c) {2x + 2y  =  ...x −2y  =  ...


Rozwiązanie:

Podstawiamy x  =  −1 i y  =  2 do każdego z równań układu i wykonujemy obliczenia:

a) {2 ⋅(−1) 2  =  −2 − 2  =  −4−1 + 3 ⋅ 2  =  −1 + 6  =  5

    Stąd układ równań ma postać: {2x − y  =  −4x + 3y  =  5

b) {−3 ⋅(−1)+ 4 ⋅ 2  =  3 + 8  =  112 ⋅(−1) 5 ⋅ 2  =  −2 − 10  =  −12

    Stąd układ równań ma postać: {−3x + 4y  =  112x − 5y  =  −12

c) {2 ⋅(−1)+ 2 ⋅ 2  =  4 −2(−1)2 ⋅ 2  =  −1 − 22

    Stąd układ równań ma postać {2x + 2y  =  4 −2x −2y  =  −1 − 22