Układ równań, który ma jedno rozwiązanie

Przykład

Rozwiąż układ równań {x + y  =  7−2x + 3y  =  6


Rozwiązanie:
Rozwiążemy układ metodą podstawiania.

{x  =  7 − y−2x + 3y  =  6

{x  =  7 − y−2(7 − y)+ 3y  =  6

{x  =  7 − y−14 + 2y + 3y  =  6

{x  =  7 − y5y  =  20

{x  =  7 − yy  =  4

{x  =  7 − 4y  =  4

{x  =  3y  =  4

Odpowiedź: Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb {x  =  3y  =  4

  Układ równań {x + y  =  7−2x + 3y  =  6 oraz układ równań {x  =  3y  =  4

jest spełniony przez jedną parę liczb: (3, 4).

   Układ, który ma jedno rozwiązanie, nazywamy oznaczonym.

Układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań

Przykład

Rozwiąż układ równań {2x − y  =  14x − 2y  =  2


Rozwiązanie:
Rozwiążemy układ metodą podstawiania.

{y  =  2x − 14x − 2 ⋅(2x − 1)=  2

{y  =  2x − 12  =  2


Odpowiedź:
 Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W takim przypadku możemy za x podstawić dowolną liczbę rzeczywistą x  ∈  R i dla tej wartości obliczyć y z wyrażenia 2x − 1. Rozwiązaniem układu równań są więc pary liczb postaci: (x, 2x − 1), gdzie x  ∈  R.
Wypiszmy kilka takich par:
(1, 2 ⋅ 1 − 1)=  (1, 1) ,
(0, 2 ⋅ 0 − 1)=  (0, −1) ,
(2, 2 ⋅ 2 − 1)=  (2, 3)...
Jest ich nieskończenie wiele.

  Układy równań
{2x − y  =  14x − 2y  =  2 oraz  {y  =  2x − 12  =  2

mają nieskończenie wiele rozwiązań postaci (x, 2x − 1).

Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale to nie znaczy, że KAŻDA para liczb spełnia ten układ. Naprzykład para (0, 0) nie spełnia ani pierwszego, ani drugiego równania.

  Układ, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy nieoznaczonym.

Układ równań, który nie ma rozwiązania

Przykład

Rozwiąż układ równań {3x − y  =  2−3x + y  =  5


Rozwiązanie:
Rozwiążemy układ metodą podstawiania.

{3x − y  =  2y  =  5 + 3x

{3x −(5 + 3x)=  2y  =  5 + 3x

{−5  =  2y  =  5 + 3x


Odpowiedź:
Układ równań nie ma rozwiązania.

Pierwsza równość w układzie jest fałszywa. Nie istnieje para liczb (x, y), która by ją spełniała. Dlatego nie istnieje para liczb (x, y), która spełniałaby układ rówań.

  Układ równań {3x − y  =  2−3x + y  =  5 oraz układ {−5  =  2y  =  5 + 3x nie mają rozwiązania.

  Układ, który nie ma rozwiązania nazywamy sprzecznym.