Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania – przykład

  • Aby podczas rozwiązywania układu równań nie pogubić się w przekształceniach, dobrą praktyką jest zapisywanie obu równań za każdym razem – tego, które przekształcamy, oraz tego, które czeka na swoją kolej
  • Zawsze warto sprawdzać otrzymane wyniki

Przykład

Rozwiążemy układ równań metodą podstawiania.

{x − 3y  =  −53x + y  =  5

I sposób (najpierw wyznaczymy x ):

Krok 1. Wyznaczamy niewiadomą x z pierwszego równania (drugie równanie przepisujemy bez zmian):

     {x  =  3y − 53x + y  =  5

Krok 2. W drugim równaniu w miejsce x podstawiamy wyrażenie 3y − 5 (pierwsze równanie przepisujemy bez zmian):

     {x  =  3y − 53(3y − 5)+ y  =  5

Krok 3. Rozwiązujemy drugie równanie (pierwsze równanie przepisujemy bez zmian):

     {x  =  3y − 59y − 15 + y  =  5

     {x  =  3y − 510y  =  20

     {x  =  3y − 5y  =  2

Krok 4. Do pierwszego równania w miejsce y podstawiamy liczbę 2 (drugie równanie przepisujemy bez zmian):

     {x  =  3 ⋅ 2 − 5y  =  2

Krok 5. Rozwiązujemy pierwsze równanie (drugie przepisujemy bez zmian):

     {x  =  1y  =  2

Krok 6. Podajemy rozwiązanie układu:

     {x  =  1y  =  2

Odpowiedź możemy także zapisać w postaci: Układ równań spełnia para liczb (1, 2).

Sprawdzenie:

Żeby się upewnić, że podczas rozwiązywania układu nie popełniliśmy błędu, sprawdzamy, czy wyznaczona para liczb spełnia oba równania:

{x − 3y  =  −53x + y  =  5


W miejsce x wstawiamy 1, w miejsce y liczbę 2  :

    {−5  =  −55  =  5

W obu równaniach L = P, zatem para liczb (1, 2) spełnia ten układ.


II sposób (najpierw wyznaczymy y ):

Krok 1. Wyznaczamy niewiadomą y z drugiego równania (pierwsze równanie przepisujemy bez zmian):

     {x − 3y  =  −5y  =  5 − 3x

Krok 2. Wpierwszym równaniu w miejsce y podstawiamy wyrażenie 5 − 3x (drugie równanie przepisujemy bez zmian):

     {x − 3 ⋅(5 − 3x)=  −5y  =  5 − 3x

Krok 3. Rozwiązujemy pierwsze równanie (drugie równanie przepisujemy bez zmian):

     {x − 15 + 9x  =  −5y  =  5 − 3x

     {10x  =  10y  =  5 − 3x

     {x  =  1y  =  5 − 3x

Krok 4. Do drugiego równania w miejsce x podstawiamy liczbę 1 (pierwsze równanie przepisujemy bez zmian):

     {x  =  1y  =  5 − 3 ⋅ 1

Krok 5. Rozwiązujemy drugie równanie (pierwsze przepisujemy bez zmian):

     {x  =  1y  =  2

Krok 6. Podajemy rozwiązanie układu:

     {x  =  1y  =  2

Odpowiedź możemy także zapisać w postaci: Układ równań spełnia para liczb (1, 2).

Sprawdzenie:

Aby się upewnić, że podczas rozwiązywania układu nie popełniliśmy błędu, sprawdzamy, czy wyznaczona para liczb spełnia oba równania:

{x − 3y  =  −53x + y  =  5

W miejsce x wstawiamy 1, w miejsce y liczbę 2  :

    {−5  =  −55  =  5


W obu równaniach L = P, zatem para liczb (1, 2) spełnia ten układ.

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania – zasady ogólne

Metoda podstawiania polega na:

  1. wyznaczeniu z dowolnego równania jednej z niewiadomych
  2. podstawieniu do drugiego równania w jej miejsce wyznaczonego wyrażenia
  3. rozwiązaniu drugiego równania
  4. podstawieniu otrzymanej liczby do pierwszego równania
  5. rozwiązaniu pierwszego równania
  6. podaniu pary liczb spełniającej układ równań