Metoda przeciwnych współczynników rozwiązywania układów równań ma zastosowanie dla układów równań liniowych, czyli układów postaci:

{ax + by  =  cgdziea  ≠  0lubb  ≠  0dx + ey  =  fgdzied  ≠  0lube  ≠  0

w których x i y to niewiadome.

Jeśli układ równań ma inną postać, to najpierw trzeba go tak uporządkować, aby po lewych stronach obu równań były wyrazy z niewiadomymi x i y, a po prawych same liczby. Następnie patrzymy na współczynniki przy niewiadomych.

Rozwiązywanie układu metodą przeciwnych współczynników zależy od wyjściowej formy równań w układzie.

1. Jeśli przy tej samej niewiadomej w jednym równaniu znajduje się pewna liczba, a w drugim równaniu liczba do niej przeciwna – nie musimy przekształcać równań.
{−3x + y  =  −23x + y  =  4

przeciwne współczynniki: −3 i 3, są przy niewiadomej x
{5x − y  =  93x + y  =  −1

przeciwne współczynniki: −1 i 1, są przy niewiadomej y

2. Jeśli przy tej samej niewiadomej w jednym równaniu znajduje się pewna liczba, a w drugim równaniu łatwo otrzymać liczbę do niej przeciwną – przekształcamy jedno z równań do równania równoważnego, aby otrzymać przeciwne współczynniki.
{−2x − 3y  =  74x + 8y  =  14/ ⋅ 2

{−4x − 6y  =  144x + 8y  =  14


3. W pozostałych przypadkach przekształcamy oba równania w równania równoważne tak, aby przy jednej z niewiadomych otrzymać liczby przeciwne.
{2x + 5y  =  6/ ⋅(−7)7x − 2y  =  60/ ⋅ 2

{−14x − 35y  =  −4214x − 4y  =  120

Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników

Przykład 1. Przeciwne współczynniki widać na pierwszy rzut oka

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

  {−3x + y  =  −23x + y  =  4

Krok 1. Zauważamy, że przy niewiadomej x w pierwszym równaniu jest liczba −3, a w drugim 3. Jest to para liczb przeciwnych:

  {−3x + y  =  −23x + y  =  4

Krok 2. Dodajemy równania stronami (lewą stronę do lewej, prawą do prawej). Dzięki przeciwnym współczynnikom niewiadoma x znika i powstaje nowe równanie z jedną niewiadomą y  :

Krok 3. Wracamy do układu równań. Jedno równanie zastępujemy nowym z wyznaczoną niewiadomą, drugie równanie (dowolne, np. dolne) dopisujemy:

  {y  =  13x + y  =  4

Krok 4. Podstawiamy wyznaczoną niewiadomą do drugiego równania i rozwiązujemy je:

  {y  =  13x + 1  =  4

  {y  =  13x  =  3

  {y  =  1x  =  1

Krok 5. Podajemy rozwiązanie układu:
  {x  =  1y  =  1



Przykład 2. Przeciwne współczynniki uzyskane po przekształceniu jednego równania

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

  {−2x − 3y  =  74x + 8y  =  14

Krok 1. Zauważamy, że ani przy niewiadomej x ani przy niewiadomej y nie ma przeciwnych współczynników, ale łatwo je uzyskać przy niewiadomej x. Mnożymy obie strony pierwszego równania przez 2:

  {−2x − 3y  =  74x + 8y  =  14/ ⋅ 2

W układzie równoważnym:

  {−4x − 6y  =  144x + 8y  =  14

przy niewiadomej x w pierwszym równaniu otrzymujemy −4, a w drugim 4. Jest to para liczb przeciwnych.

Krok 2. Dodajemy równania stronami (lewą stronę do lewej, prawą do prawej). Dzięki przeciwnym współczynnikom niewiadoma x znika i powstaje nowe równanie z jedną niewiadomą y  :

Krok 3. Wracamy do układu równań. Jedno równanie zastępujemy nowym z wyznaczoną niewiadomą, drugie równanie (dowolne, np. górne) dopisujemy:

  {y  =  14−2x − 3y  =  7

Krok 4. Podstawiamy wyznaczoną niewiadomą do drugiego równania i rozwiązujemy je:

  {y  =  14−2x − 3 ⋅ 14  =  7

  {y  =  14−2x − 42  =  7

  {y  =  14−2x  =  49

  {y  =  14x  =  −24, 5

Krok 5. Podajemy rozwiązanie układu:

  {x  =  −24, 5y  =  14

Uwaga! Przeciwne współczynniki w układzie {−2x − 3y  =  74x + 8y  =  14

można także uzyskać, dzieląc przez 2 obie strony drugiego równania.


Przykład 3. Przeciwne współczynniki uzyskane po przekształceniu obu równań

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

  {2x + 5y  =  67x − 2y  =  60

Krok 1. Zauważamy, że ani przy niewiadomej x ani przy niewiadomej y nie ma przeciwnych współczynników, ale zawsze możemy je uzyskać. Aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej x mnożymy:

  • obie strony pierwszego równania przez –7,
  • obie strony drugiego równania przez 2

  {2x + 5y  =  6/ ⋅(−7)7x − 2y  =  60/ ⋅ 2


W układzie równoważnym:

  {−14x − 35y  =  −4214x − 4y  =  120


przy niewiadomej x w pierwszym równaniu otrzymujemy −14, a w drugim 14, czyli parę liczb przeciwnych.

Krok 2. Dodajemy równania stronami (lewą stronę do lewej, prawą do prawej). Dzięki przeciwnym współczynnikom niewiadoma x znika i powstaje nowe równanie z jedną niewiadomą y  :

Krok 3. Wracamy do układu równań. Jedno równanie zastępujemy nowym z wyznaczoną niewiadomą, drugie równanie (dowolne, np. górne) dopisujemy:

  {y  =  −22x + 5y  =  6

Krok 4. Podstawiamy wyznaczoną niewiadomą do drugiego równania i rozwiązujemy je:

  {y  =  −22x + 5 ⋅(−2)=  6

  {y  =  −22x − 10  =  6
  {y  =  −22x  =  16
  {y  =  −2x  =  8

Krok 5. Podajemy rozwiązanie układu:

  {x  =  8y  =  −2


Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników – zasady ogólne

Metoda przeciwnych współczynników polega na:

  1. zauważeniu przeciwnych współczynników przy tej samej niewiadomej lub przekształceniu równań układu w równania równoważne tak, aby otrzymać przeciwne współczynniki,
  2. dodaniu stronami obu równań i wyznaczeniu jednej niewiadomej,
  3. utworzeniu nowego układu z równaniem z wyznaczoną niewiadomą oraz drugim dopisanym równaniem (dowolnym: górnym lub dolnym),
  4. podstawieniu otrzymanej liczby do drugiego równania i jego rozwiązaniu,
  5. podaniu pary liczb spełniającej układ równań.

Rozwiązywanie układów równań metodą przeciwnych współczynników – przykłady trudniejsze

Przykład 1. Układ sprzeczny

Rowiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

  (1 +2)x − y  =  0(1 +2)x + y  =  5



Rozwiązanie:

Przy niewiadomej x w pierwszym i drugim równaniu jest para liczb przeciwnych: (1 +2) i (1 +2).
Przy niewiadomej y w pierwszym i drugim równaniu także jest para liczb przeciwnych: −1 i 1. Po dodaniu równań stronami otrzymamy:

Równanie 0  =  5 jest sprzeczne.

Zatem układ równań {(1 +2)x − y  =  00  =  5,

który jest równoważny układowi wyjściowemu, jest sprzeczny.

Odpowiedź: Układ równań nie ma rozwiązania.


Przykład 2. Układ nieoznaczony

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

  {4x − 5y  =  9−8x + 10y  =  −18


Rozwiązanie:

Aby uzyskać przeciwne współczynniki, możemy np. obie strony pierwszego równania pomnożyć przez 2 lub obie strony drugiego równania podzielić przez 2. Wybierzmy tę drugą opcję, będziemy operować mniejszymi liczbami:

  {4x − 5y  =  9−8x + 10y  =  −18/  :  2

  {4x − 5y  =  9−4x + 5y  =  −9


Przy obu niewiadomych występują liczby przeciwne, zatem po dodaniu równań stronami otrzymamy po lewej stronie równania 0:

Równanie 0  =  0 jest tożsamościowe.

Zatem układ równań {4x − 5y  =  90  =  0,

który jest równoważny układowi wyjściowemu, jest nieoznaczony.

Aby podać rozwiązanie, musimy jeszcze wyznaczyć y (na przykład z pierwszego równania): 5y  =  4x − 9, czyli y  =  45x −95.

Odpowiedź: Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci (x,45x −95).


Przykład 3. Układ, który na początku wymaga uporządkowania

Rozwiążmy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

  34(x + y)12(2x − y)=  53x + 2y  =  25 −13(x − y)


Rozwiązanie:

  34(x + y)12(2x − y)=  5/ ⋅ 43x + 2y  =  25 −13(x − y)/ ⋅ 3

  {3(x + y) 2(2x − y)=  209x + 6y  =  75 −(x − y)

  {3x + 3y 4x + 2y=  209x + 6y  =  75 − x + y

  {x + 5y=  20/ ⋅(−1)10x + 5y  =  75

  {x − 5y  =  −2010x + 5y  =  75

  {x  =  5x − 5y  =  −20
  {x  =  55 − 5y  =  −20

  {x  =  5y  =  5


Odpowiedź: Układ ma jedno rozwiązanie: (5, 5).