Podoba Ci się? Załóż konto!

Wszystkie lekcje, fiszki, quizy, filmy i materiały dodatkowe są dostępne po zalogowaniu.

Wzory skróconego mnożenia przyśpieszają przekształcenia wyrażeń algebraicznych oraz ułatwiają przeprowadzanie dowodów. Stosujemy je, gdy chcemy zamienić iloczyn nawiasów na sumę algebraiczną lub na odwrót – gdy pewne sumy algebraiczne chcemy zapisać w postaci iloczynu nawiasów.

Kwadrat sumy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b  :

Wyprowadzenie wzoru:

Kwadrat wyrażenia to inaczej iloczyn dwóch takich samych wyrażeń, więc zamiast (a + b)2 możemy zapisać: (a + b)(a + b). Gdy pomnożymy nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia sum algebraicznych, czyli „każdy wyraz przez każdy”, otrzymamy:
 W sekcji Filmy zobaczysz także interpretację graficzną (geometryczną) wzoru na kwadrat sumy.

Przykłady zastosowań:

  1. Zamień kwadrat sumy na sumę algebraiczną.
    (x + 4)2  =  x2 + 2 ⋅ x ⋅ 4 + 42  =
    =  x2 + 8x + 16

    (3x + y)2  =  (3x)2 + 2 ⋅ 3x ⋅ y + y2  =
    =  9x2 + 6xy + y2

    (12a +14b)2  =
    =  (12a)2 + 2 ⋅12a ⋅14b +(14b)2  =
    =  14a2 +14ab +116b2

  2. Oblicz.
    (2 +3)2  =
    =  22 + 2 ⋅ 2 ⋅3 +32  =
    =  4 + 43 + 3  =  7 + 43

    (5 +3)2  =
    =  52 + 2 ⋅5 ⋅3 +32  =
    =  5 + 215 + 3  =  8 + 215

    (5 +20)2  =
    =  (5)2 + 2 ⋅5 ⋅20 +(20)2  =
    =  5 + 2100 + 20  =  45

  3. Zamień sumę algebraiczną na iloczyn.
    Zastosujemy tu wzór na kwadrat sumy, tylko „w drugą stronę”. Rozwiniętą postać a2 + 2ab + b2 zapiszemy w skróconej wersji (a + b)2 , dzięki czemu sumę przekształcimy na iloczyn.

    x2 + 2xy + y2  =  (x + y)2

    25x2 + 10xy + y2  =
    =  (5x)2 + 2 ⋅ 5x ⋅ y + y2  =
    =  (5x + y)2

    5x2 + 45xy + 4y2  =
    =  (5x)2 + 2 ⋅5x ⋅ 2y +(2y)2  =
    =  (5x + 2y)2


    Uwaga. Tego typu przekształcenia stosuje się m.in. w dowodzeniu. Zobacz ostatni fragment tej lekcji: „Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia”.

Kwadrat różnicy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b  :

Wyprowadzenie wzoru:

Kwadrat wyrażenia to inaczej iloczyn dwóch takich samych wyrażeń, więc zamiast (a − b)2 możemy zapisać: (a − b)(a − b). Gdy pomnożymy nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia sum algebraicznych, czyli „każdy wyraz przez każdy”, otrzymamy:
 W sekcji Filmy zobaczysz także interpretację graficzną (geometryczną) wzoru na kwadrat różnicy.

Przykłady zastosowań:

  1. Zamień kwadrat różnicy na sumę algebraiczną.
    (x − 2)2  =  x2 − 2 ⋅ x ⋅ 2 + 22  =
    =  x2 − 4x + 4

    (2a − 3b)2  =
    =  (2a)2 − 2 ⋅ 2a ⋅ 3b +(3b)2  =
    =  4a2 − 12ab + 9b2

    (23x −15y)2  =
    =  (23x)2 − 2 ⋅23x ⋅15y +(15y)2  =
    =  49x2 −415xy +125y2

    (5 − x)2  =
    =  (5)2 − 2 ⋅(5) x + x2  =
    =  5 + 25 + x2

    Uwaga.  (5 − x)2  =  (5 + x)2
  2. Oblicz.
    (5 − 1)2  =
    =  52 − 2 ⋅5 ⋅ 1 + 11  =
    =  5 − 25 + 1  =  6 − 25

    (3 −7)2  =
    =  32 − 2 ⋅3 ⋅7 +72  =
    =  3 − 221 + 7  =  10 − 221

    (22 −10)2  =
    =  (22)2 − 2 ⋅ 22 ⋅10 +(10)2  =
    =  8 − 420 + 10  =  18 − 420  =
    =  18 − 85
  3. Zamień sumę algebraiczną na iloczyn.
    Zastosujemy tu wzór na kwadrat różnicy, tylko „w drugą stronę”. Rozwiniętą postać a2 − 2ab + b2 zapiszemy w skróconej wersji (a − b)2 , dzięki czemu sumę algebraiczną przekształcimy na iloczyn.

    x2 − 2x + 1  =  (x − 1)2

    9a2 − 6ab + b2  =
    =  (3a)2 − 2 ⋅ 3a ⋅ b + b2  =  (3a − b)2

    7x2 − 47xy + 4y2  =
    =  (7x)2 − 2 ⋅7x ⋅ 2y +(2y)2  =
    =  (7x − 2y)2

    Uwaga. Tego typu przekształcenia stosuje się m.in. w dowodzeniu. Zobacz ostatni fragment tej lekcji: „Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia”.

Różnica kwadratów

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b :

Wyprowadzenie wzoru:

Mnożymy nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia sum algebraicznych, czyli „każdy wyraz przez każdy”:
 W sekcji Filmy zobaczysz także interpretację graficzną (geometryczną) wzoru na różnicę kwadratów.

Przykłady zastosowań:

  1. Zamień iloczyn na sumę algebraiczną.
    (x + 4)(x − 4)=  x2 − 16

    (a + 3b)(a − 3b)=  a2 −(3b)2  =
    =  a2 − 9b2

    (12s −3t)(12s +3t)=
    =  (12s)2 −(3t)2  =  14s2 − 3t2

    Uwaga. Nie ma znaczenia, w który nawiasie jest plus, a w którym minus.
  2. Oblicz.
    (3 +5)(3 −5)=  32 −52  =
    =  9 − 5  =  4

    (2 +3)(2 −3)=
    =  22 −32  =  2 − 3  =  −1

    (57 − 25)(57 + 25)=
    =  (57)2 −(25)2  =  175 − 20  =
    =  155
  3. Zamień sumę algebraiczną na iloczyn.
    Zastosujemy tu wzór na różnicę kwadratów zgodnie z nazwą, czyli „w drugą stronę” niż dotychczas. Postać a2 − b2 zapiszemy jako (a + b)(a − b), dzięki czemu sumę algebraiczną przekształcimy na iloczyn.

    x2 − y2  =  (x + y)(x − y)
    25a2 − 16b2  =  (5a + 4b)(5a − 4b)
    3 − t2  =  (3 + t)(3 − t)

    Uwaga. Tego typu przekształcenia stosuje się m.in. w dowodzeniu. Zobacz ostatni fragment tej lekcji: „Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia”.
  4. Zapisz w postaci iloczynu.
    a4 − b4  =  (a2)2 −(b2)2  =
    =  (a2 + b2)(a2 − b2)=
    =  (a2 + b2)(a + b)(a − b)

    a4 − 81  =  (a2)2 −(32)2  =
    =  (a2 + 32)(a2 − 32)=
    =  (a2 + 9)(a + 3)(a − 3)

    16 − x4  =  (22)2 −(x2)2  =
    =  (22 + x2)(22 − x2)=
    =  (4 + x2)(2 + x)(2 − x)

    a6 − b6  =  (a3)2 −(b3)2  =
    =  (a3 + b3)(a3 − b3)

    a8 − b8  =  (a4)2 −(b4)2  =
    =  (a4 + b4)(a4 − b4)=
    =  (a4 + b4)((a2)2 −(b2)2)=
    =  (a4 + b4)(a2 + b2)(a2 − b2)=
    =  (a4 + b4)(a2 + b2)(a + b)(a − b)

  5. Usuń niewymierność z mianownika ułamka.
 (a)   23 +5

Krok 1. Patrzymy na mianownik ułamka 2(3 +5).

Ustalamy, przez jaką liczbę pomnożyć  3 +5,  aby pierwiastek zniknął. Taką liczbą będzie różnica tych samych wyrazów: 3 −5.

Krok 2. Budujemy ułamek (3 −5)(3 −5), o wartości 1.

Jego licznikmianownik są takie same. Mnożenie przez taki ułamek nie zmienia wartości wyrażenia. Zmienia tylko jego postać.

Krok 3. Mnożymy ułamki 2(3 +5) ⋅(3 −5)(3 −5),

w mianowniku stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

 (b)

42 − 1  =  42 − 1 ⋅2 + 12 + 1  =

=  42 + 422 − 12  =  42 + 42 − 1  =

=  42 + 41  =  42 + 4


 (c)

32−5 −3  =  32−5 −3 ⋅(−5 +3)(−5 +3)  =

=  −152 + 36(−5)2 −(3)2  =  −152 + 3625 − 3  =

=  −152 + 3622


Mianownik dodatkowego ułamka dobieramy w taki sposób, aby można było zastosować wzór (a + b)(a − b). Jeśli w mianowniku początkowego ułamka była suma, to mnożymy ją przez różnicę. Jeśli była różnica, to pomnożymy ją przez sumę. Dzięki temu w mianowniku ułamka znikają pierwiastki, czyli niewymierność ułamka zostaje usunięta.

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

Przykład 1.
Uprość wyrażenie (5 + x)2 +(5 − x)2 +
(5 − x)(5 + x)
Rozwiązanie:
(5 + x)2 +(5 − x)2 +
(5 − x)(5 + x)=
=  (5 + x)2 +(5 + x)2 +
(5 − x)(5 + x)=
=  2(5 + x)2 −(5 − x)(5 + x)=

=  2(5 + 25x + x2)(5 − x2)=

=  10 + 45x + 2x2 − 5 + x2  =

=  3x2 + 45x + 5.


Przykład 2.
Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba (n + 2)2 −(n − 2)2 jest podzielna przez 8.

Rozwiązanie:

Stosujemy wzory skróconego mnożenia i zapisujemy podane wyrażenie w prostszej postaci:
(n + 2)2 −(n − 2)2  =

=  n2 + 4n + 4 −(n2 − 4n + 4)=

=  n2 + 4n + 4 − n2 + 4n − 4  =  8n

Otrzymane wyrażenie jest iloczynem liczby 8 i liczby naturalnej n. Musi być zatem podzielne przez 8, co należało udowodnić.


Przykład 3.
Uzasadnij, że liczba 78 − 1 jest podzielna przez 2400.

Rozwiązanie:

78 − 1  =  78 − 18  =  (74)2 −(14)2  =

=  (74 + 14)(74 − 14)=
=  (74 + 14)(72 + 12)(72 − 12)=

=  (74 + 14) 50 ⋅ 48  =
=  (74 + 14) 2400

Otrzymana liczba jest iloczynem liczby naturalnej (74 + 14) oraz liczby 2400. Musi być zatem podzielna przez 2400, co należało udowodnić.



Przykład 4. (zadanie maturalne!)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest równość:

(a + b2)2a2 + b22

Rozwiązanie:

  1. Wymnażamy wyrażenie po lewej stronie nierówności:
    (a + b2)2  =  (a + b)222  =
    =  a2 + 2ab + b24

    Mamy wtedy:

    a2 + 2ab + b24a2 + b22
  2. Mnożymy obie strony nierówności przez 4, żeby zlikwidować mianowniki ułamków:
    a2 + 2ab + b22(a2 + b2)
  3. Wymnażamy prawą stronę i przenosimy wszystkie wyrazy na prawą stronę:
    a2 + 2ab + b22a2 + 2b2
    02a2 + 2b2 − a2 − 2ab − b2
    0a2 − 2ab + b2
  4. Zaznaczony na zielono fragment to rozwiniętą postać wzoru: (a − b)2. Możemy więc zapisać:
    0(a − b)2
  5. Różnica dwóch dowolnych liczb rzeczywistych podniesiona do kwadratu jest zawsze nieujemna. Otrzymana nierówność jest zawsze prawdziwa, zatem wyjściowa nierówność jest także prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b, co należało udowodnić.

Podoba Ci się? Załóż konto!

Wszystkie lekcje, fiszki, quizy, filmy i materiały dodatkowe są dostępne po zalogowaniu.