Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne – zadania
W tej lekcji rozwiążemy zadania dotyczące własności wyrazów ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego. Warto pamiętać, że trzy kolejne wyrazy ciągu można przedstawić w różny sposób.
Dla Ucznia nauka zdalna liceum nauka zdalna portal
wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia związane z drugimi potęgami
- Kwadrat sumy
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 - Kwadrat różnicy
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 - Różnica kwadratów
(a + b)(a − b) = a2 − b2
rozwiązania równania kwadratowego
Rozwiązania równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0 to:
x1 = −b − √Δ2a, x2 = −b + √Δ2a, gdy Δ > 0,
x0 = −b2a, gdy Δ = 0,
gdzie Δ = b2 − 4ac.
Równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, gdy Δ < 0.
ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym kolejne wyrazy (z wyjątkiem pierwszego) tworzymy przez dodanie do poprzedniego wyrazu liczby r, nazywanej różnicą ciągu.
ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym kolejne wyrazy (oprócz pierwszego) tworzymy przez pomnożenie poprzedniego przez liczbę q, nazywaną ilorazem ciągu.
zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
- Jeśli liczby a, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:
b = a + c2
zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego
- Jeśli liczby a, b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich, to środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich:
b = √a ⋅ c - Trzy liczby a, b, c w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy:
b2 = a ⋅ c