Równania wymierne

Liczba nieujemna to liczba dodatnia lub równa zero.

Pierwiastek (miejsce zerowe) wielomianu to liczba, dla której wartość wielomianu jest równa0. 0.

Trójmian kwadratowyw\mleft(x\mright)=ax^2+bx+c, w(x)  =  ax2 + bx + c, gdziea\neq 0, a  ≠  0, można zapisać w postaci iloczynowej (rozłożyć na czynniki), jeśli\mathbf{\Delta \ge 0}, Δ  ≥  0, gdzie\Delta =b^2-4ac. Δ  =  b2 − 4ac.

●\mathbf{\Delta \gt 0}, Δ  >  0, wtedyw\mleft(x\mright)=a\mleft(x-x_1\mright)\mleft(x-x_2\mright), w(x)  =  a(x − x1)(x − x2), gdziex_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}, x1  =  −b − √Δ2a, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} x2  =  −b + √Δ2a

●\mathbf{\Delta =0}, Δ  =  0, wtedyw\mleft(x\mright)=a\mleft(x-x_0\mright)^2, w(x)  =  a(x − x0)2, gdziex_0=\frac{-b}{2a} x0  =  −b2a

Wielomianem stopnian n jednej zmiennejx x nazywamy funkcję postaci:
w\mleft(x\mright)\! \; =\! \; a_nx^{n\! }\! \; +\! \; a_{n-1}x^{n-1\! }\! \; +\! \; \textrm{...}\! \; +\! \; a_1x\! \; +\! \; a_0, w(x)​​=​​anxn​​​+​​an−1xn−1​​​+​​...​​+​​a1x​​+​​a0, gdziea_n\neq 0 an  ≠  0 in\in {\upshape \mathbf{N}}. n  ∈  N.

Dziedziną wielomianu jest zbiór liczb rzeczywistych.
Wielomianami są np.w\mleft(x\mright)=x^4+6x^3-3x^2+x, w(x)  =  x4 + 6x3 − 3x2 + x, v\mleft(x\mright)=x^2+3x-1, v(x)  =  x2 + 3x − 1, u\mleft(x\mright)=5x+2, u(x)  =  5x + 2, f\mleft(x\mright)=4. f(x)  =  4.

Równanie wielomianowe to równanie, które można zapisać w postaciw\mleft(x\mright)=0, w(x)  =  0, gdziew w jest wielomianem.

Proporcja to równość\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, ab  =  cd, gdzieb\neq 0 b  ≠  0 id\neq 0. d  ≠  0.

Wyrazya a id d nazywają się wyrazami skrajnymi, a wyrazyb b ic c – wyrazami środkowymi.

Ważną własnością proporcji jest to, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, czyli:

a\cdot d=b\cdot c a ⋅ d  =  b ⋅ c

Potocznie zapis ten jest nazywany mnożeniem na krzyż: