- Korzystny rabat
- Jednorazowa płatność
- Nie płacisz za wakacje!
Wyrażenie algebraiczne, jednomian, suma algebraiczna
W zadaniach matematycznych za pomocą liter oznaczamy: wartości szukane (niewiadome), ale także wartości, które się mogą zmieniać, czyli zmienne. Za pomocą działań takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie zmienne można połączyć zarówno ze sobą, jak i liczbami rzeczywistymi – w ten sposób powstaje wyrażenie algebraiczne.
Przykłady wyrażeń algebraicznych i ich nazw:
2n + 1 to suma iloczynu liczb 2 i n oraz liczby 1
2 (n + 1) to iloczyn liczby 2 oraz sumy liczb n i 1
(n + 1)2 to kwadrat sumy liczby n i 1
- 2n oznacza 2 ⋅ n . Kropki oznaczającej mnożenie liczby i zmiennej można nie pisać, należy tylko pamiętać, aby najpierw zapisać liczbę, a dopiero po niej zmienną.
Inne przykłady wyrażeń algebraicznych:
x + 2xy − √5
1 − 2x
2a − 3b + 7c
19
√x2 + 100
xyz − 6ab
15 − y + 4
1, 5t3w7 + z2
−1 − 12x
- xyz oznacza x ⋅ y ⋅ z . Kropki oznaczającej mnożenie zmiennych można nie pisać.
Wyrażenie algebraiczne, które jest iloczynem liczb i zmiennych to jednomian.
Przykłady jednomianów:
3n – iloczyn liczb 3 i n
3n2 – iloczyn liczby 3 i kwadratu liczby n
3mn2 – iloczyn liczby 3 , liczby m i sześcianu liczby n
n – liczba n
3 – liczba 3
Liczbę występującą w uporządkowanym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu. Na przykład jednomian 3n ⋅ 4n2 po uporządkowaniu ma postać 12n3 . Jego współczynnikiem liczbowym jest liczba 12 .
- Uporządkowanie jednomianu polega na zapisaniu liczb i liter w kolejności:
najpierw liczba, potem litery w porządku alfabetycznym. - Jeśli współczynnik liczbowy jednomianu wynosi 1 , to pomija się go w zapisie, np. zamiast 1xy2 pisze się xy2 .
Suma kilku jednomianów to suma algebraiczna, np. 14x5 + 3 + 2xy + y . Jednomiany wchodzące w skład tej sumy to wyrazy sumy algebraicznej. Suma 14x5 + 3 + 2xy + y składa się z 4 wyrazów: 14x5 , 3 , 2xy oraz y .
- Wyrażenie 14x5 − 3 − 2xy + y jest także sumą algebraiczną, ponieważ każdą różnicę można zapisać jako sumę: 14x5 + (−3)+ (−2xy)+ y . Suma 14x5 − 3 − 2xy + y składa się z wyrazów: 14x5 , −3 , −2xy oraz y.
Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego
Dla każdego wyrażenia algebraicznego można obliczyć jego wartość liczbową. W miejsce liter wstawiamy odpowiednie liczby, a następnie wykonujemy działania na liczbach, np.:
- Dla x = 1 i y = −2 wartość liczbowa wyrażenia 4x2y2 + y jest równa 14 :
4 ⋅ 12 ⋅ (−2)2 + (−2)=
= 4 ⋅ 1 ⋅ 4 − 2 = 14
Natomiast dla x = −12 i y = 5 wyrażenie 4x2y2 + y przyjmie wartość 20 :
4 ⋅ (−12)2 ⋅ 52 + 5 =
4 ⋅ 14 ⋅ 25 + 5 = 30 - Dla a = √2 , b = 3 i c = −1 wartość liczbowa wyrażenia 2a − a2 ⋅ b ⋅ c jest równa (2√2 + 6):
2 ⋅ √2 − (√2)2 ⋅ 3 ⋅ (−1)=
= 2√2 − (−6)= 2√2 + 6
Dla a = 4 , b = −8 i c = 0 jego wartość wyniesie 8 :
2 ⋅ 4 − 42 ⋅ (−8)⋅ 0 = 8
Działania na wyrażeniach algebraicznych
Dodawanie, odejmowanie, redukcja wyrazów podobnych
Wyrazy sumy algebraicznej można dodawać i odejmować tylko wtedy, gdy są podobne, tzn. zbudowane są z tych samych liter w tych samych potęgach, a różnią się tylko współczynnikami liczbowymi.
Przykłady wyrazów podobnych:
- 2x i 5x
- 10xy i −10xy
- 5x3y2 i −x3y2
Dodawanie i odejmowanie wyrazów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podonych. Dzięki temu sumę algebraiczną zapiszemy w prostszy sposób.
Przykłady redukcji wyrazów podobnych:
- Dla wygody obliczeń wyrazy podobne warto podkreślać w taki sam sposób.
- Suma dwóch wyrazów podobnych, których współczynniki liczbowe są liczbami przeciwnymi, jest równa 0.
Mnożenie
Aby pomnożyć jednomiany, stosujemy zasadę: liczby przez liczby, a litery przez litery:
- 3x ⋅ 2y = 6xy
- 10x2 ⋅ (−4xy2)= −40x3y2
- −12y2 ⋅ √3xz ⋅ 5z = −5√32xy2z2
Jeśli przed nawiasem jest minus, to możemy nawias opuścić pod warunkiem, że zmieniamy znaki na przeciwne we wszystkich wyrazach wewnątrz nawiasu:
- − (4x − 5y + 10z)= −4x + 5y − 10z
- −3 (−x + 2y − 6z)= 3x − 6y + 18z
- −2x (8 − 3x + 4y)=
= −16x + 6x2 − 8xy
Aby pomnożyć jednomian przez sumę algebraiczną, każdy wyraz tej sumy mnożymy przez ten jednomian.
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
Wyrazy sumy algebraicznej zawierają czasami wspólny czynnik będący jednomianem. Możemy wtedy wyciągnąć ten jednomian przed nawias, a w nawiasie pozostawić pozbawione tego czynnika wyrazy. Takie przekształcenie nazywamy wyłączaniem wspólnego czynnika poza nawias.
- 4x − 8y = 4x − 4 ⋅ 2y = 4 (x − 2y)
- 5x2 + 6x = 5x ⋅ x + 6 ⋅ x =
= x (5x + 6) - −28xy3 − y4 + 9y2z =
= −28xy ⋅ y2 − y2 ⋅ y2 + 9 ⋅ y2 ⋅ z =
= y2 (−28xy − y2 + 9z)
- Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias jest czynnością odwrotną do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.
- Umiejętność wyłączania wspólnego czynnika przed nawias przydaje się m.in. podczas przeprowadzania dowodów podzielności liczb i rozkładania sum algebraicznych na czynniki. Na przykład zapisanie wyrażenia 4x − 8y w postaci 4 (x − 2y) pokazuje, że całe wyrażenie jest podzielne przez 4 .
- Korzystny rabat
- Jednorazowa płatność
- Nie płacisz za wakacje!
Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian
Mnożenie sum algebraicznych
Mnożenie trzech sum algebraicznych
Aby pomnożyć przez siebie trzy sumy algebraiczne, należy na początku pomnożyć przez siebie dwa nawiasy, zapisać otrzymane wyrażenie w nawiasie i dopiero wtedy pomnożyć je przez wyrażenie z trzeciego nawiasu. W przypadku większej ilości nawiasów najlepiej na początku pomnożyć dwa z nich, później otrzymane wyrażenie pomnożyć przez trzeci, następnie otrzymane wyrażenie pomnożyć przez czwarty itd.
- Korzystny rabat
- Jednorazowa płatność
- Nie płacisz za wakacje!
iloczyn
liczba przeciwna
Aby wyznaczyć liczbę przeciwną do wskazanej liczby, należy ją
pomnożyć przez –1. Np. liczbą przeciwną do 2 jest –2,
liczbą przeciwną do –4 jest 4, liczbą przeciwną do 1 − √2 jest −1 + √2 .