Zyskaj dostęp do setek lekcji przygotowanych przez ekspertów! Wszystkie lekcje, fiszki, quizy, filmy i animacje są dostępne po zakupieniu subskrypcji.
RABAT 30%
Nielimitowany dostęp roczny
  • Korzystny rabat
  • Jednorazowa płatność
  • Nie płacisz za wakacje!
girl
6,93zł/mies.
Kup na rok 69,30 zł zamiast 99 zł zł/rok
Nielimitowany dostęp miesięczny
14,90zł/mies.
Kup na miesiąc 178,80 zł/rok
Masz już dlaucznia.pl? Zaloguj się

Wyrażenie algebraiczne, jednomian, suma algebraiczna

W zadaniach matematycznych za pomocą liter oznaczamy: wartości szukane (niewiadome), ale także wartości, które się mogą zmieniać, czyli zmienne. Za pomocą działań takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie zmienne można połączyć zarówno ze sobą, jak i liczbami rzeczywistymi – w ten sposób powstaje wyrażenie algebraiczne.

Przykłady wyrażeń algebraicznych i ich nazw:
2n + 1 to suma iloczynu liczb 2 i n oraz liczby 1
2(n + 1) to iloczyn liczby 2 oraz sumy liczb n i 1
(n + 1)2 to kwadrat sumy liczby n i 1

  • 2n oznacza  2 ⋅ n . Kropki oznaczającej mnożenie liczby i zmiennej można nie pisać, należy tylko pamiętać, aby najpierw zapisać liczbę, a dopiero po niej zmienną.


Inne przykłady wyrażeń algebraicznych:
      x + 2xy −5
      1 −2x

      2a − 3b + 7c

      19

      x2 + 100

      xyz − 6ab
      15 − y + 4

      1, 5t3w7 +z2

      −1 − 12x

  • xyz oznacza  x ⋅ y ⋅ z . Kropki oznaczającej mnożenie zmiennych można nie pisać.


Wyrażenie algebraiczne, które jest iloczynem liczb i zmiennych to jednomian.
Przykłady jednomianów:
3n – iloczyn liczb 3 i n
3n2 – iloczyn liczby 3 i kwadratu liczby n
3mn2 – iloczyn liczby 3 , liczby m i sześcianu liczby n
n – liczba n
3 – liczba 3


Liczbę występującą w uporządkowanym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu. Na przykład jednomian 3n ⋅ 4n2 po uporządkowaniu ma postać 12n3 . Jego współczynnikiem liczbowym jest liczba 12 .

  • Uporządkowanie jednomianu polega na zapisaniu liczb i liter w kolejności:
    najpierw liczba, potem litery w porządku alfabetycznym.
  • Jeśli współczynnik liczbowy jednomianu wynosi 1 , to pomija się go w zapisie, np. zamiast  1xy2 pisze się xy2 .


Suma kilku jednomianów to suma algebraiczna, np.  14x5 + 3 + 2xy + y . Jednomiany wchodzące w skład tej sumy to wyrazy sumy algebraicznej. Suma 14x5 + 3 + 2xy + y składa się z 4 wyrazów:  14x5 3 2xy oraz y .

  • Wyrażenie 14x5 − 3 − 2xy + y jest także sumą algebraiczną, ponieważ każdą różnicę można zapisać jako sumę:  14x5 +(−3)+(−2xy)+ y . Suma 14x5 − 3 − 2xy + y składa się z wyrazów:  14x5 −3 −2xy oraz y.

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

Dla każdego wyrażenia algebraicznego można obliczyć jego wartość liczbową. W miejsce liter wstawiamy odpowiednie liczby, a następnie wykonujemy działania na liczbach, np.:

  • Dla x  =  1 i y  =  −2 wartość liczbowa wyrażenia 4x2y2 + y jest równa  14 :
    4 ⋅ 12 ⋅(−2)2 +(−2)=
    =  4 ⋅ 1 ⋅ 4 − 2  =  14
    Natomiast dla x  =  −12 i y  =  5 wyrażenie 4x2y2 + y przyjmie wartość 20 :
    4 ⋅(12)2 ⋅ 52 + 5  =
    4 ⋅14 ⋅25 + 5  =  30
  • Dla a  =  2 b  =  3 i c  =  −1 wartość liczbowa wyrażenia 2a − a2 ⋅ b ⋅ c jest równa (22 + 6):
    2 ⋅2 −(2)2 ⋅ 3 ⋅(−1)=
    =  22 −(−6)=  22 + 6

    Dla a  =  4 b  =  −8 i c  =  0 jego wartość wyniesie  8 :
    2 ⋅ 4 −42 ⋅(−8) 0  =  8

Działania na wyrażeniach algebraicznych

Dodawanie, odejmowanie, redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy sumy algebraicznej można dodawać i odejmować tylko wtedy, gdy są podobne, tzn. zbudowane są z tych samych liter w tych samych potęgach, a różnią się tylko współczynnikami liczbowymi.

Przykłady wyrazów podobnych:

  • 2x i 5x
  • 10xy i −10xy
  • 5x3y2 i x3y2

Dodawanie i odejmowanie wyrazów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podonych. Dzięki temu sumę algebraiczną zapiszemy w prostszy sposób.

Przykłady redukcji wyrazów podobnych:
Przykłady redukcji wyrazów podobnych: 2x+5x-3y=7x-3y; 10xy+y^2-6xy+4y^2=4xy+5y^2; -3a^3+2a^3-2a^3-1=-3a^3-1.
  • Dla wygody obliczeń wyrazy podobne warto podkreślać w taki sam sposób.
  • Suma dwóch wyrazów podobnych, których współczynniki liczbowe są liczbami przeciwnymi, jest równa 0.

Mnożenie

Aby pomnożyć jednomiany, stosujemy zasadę: liczby przez liczby, a litery przez litery:

  • 3x ⋅ 2y  =  6xy
  • 10x2 ⋅(−4xy2)=  −40x3y2
  • 12y2 ⋅3xz ⋅ 5z  =  −532xy2z2

Jeśli przed nawiasem jest minus, to możemy nawias opuścić pod warunkiem, że zmieniamy znaki na przeciwne we wszystkich wyrazach wewnątrz nawiasu:

  • (4x − 5y + 10z)=  −4x + 5y − 10z
  • 3(x + 2y − 6z)=  3x − 6y + 18z
  • 2x(8 − 3x + 4y)=
    =  −16x + 6x2 − 8xy

Aby pomnożyć jednomian przez sumę algebraiczną, każdy wyraz tej sumy mnożymy przez ten jednomian.
Przykłady mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną: 5x(2x-5); -5x(2x-5+x^2); (a+b)*a.
Jeśli mnożymy sumy algebraiczne (zapisane w oddzielnych nawiasach), każdy wyraz jednej sumy mnożymy przez każdy wyraz drugiej sumy. Stosujemy więc zasadę "każdy przez każdy", np.:
Przykłady mnożenia sum algebraicznych: (x+4y)(-2x+3); (a-√2)(a+√2); (x^2-y^2)(7x+y+9).

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Wyrazy sumy algebraicznej zawierają czasami wspólny czynnik będący jednomianem. Możemy wtedy wyciągnąć ten jednomian przed nawias, a w nawiasie pozostawić pozbawione tego czynnika wyrazy. Takie przekształcenie nazywamy wyłączaniem wspólnego czynnika poza nawias.

  • 4x − 8y  =  4x − 4 ⋅ 2y  =  4(x − 2y)
  • 5x2 + 6x  =  5x ⋅ x+6 ⋅ x  =
    =  x(5x + 6)
  • −28xy3 − y4 + 9y2z  =
    =  −28xy ⋅ y2 − y2 ⋅y2 + 9 ⋅ y2 ⋅ z  =
    =  y2(−28xy − y2 + 9z)



  • Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias jest czynnością odwrotną do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.
  • Umiejętność wyłączania wspólnego czynnika przed nawias przydaje się m.in. podczas przeprowadzania dowodów podzielności liczb i rozkładania sum algebraicznych na czynniki. Na przykład zapisanie wyrażenia 4x − 8y w postaci 4(x − 2y) pokazuje, że całe wyrażenie jest podzielne przez 4 .
Zyskaj dostęp do setek lekcji przygotowanych przez ekspertów! Wszystkie lekcje, fiszki, quizy, filmy i animacje są dostępne po zakupieniu subskrypcji.
RABAT 30%
Nielimitowany dostęp roczny
  • Korzystny rabat
  • Jednorazowa płatność
  • Nie płacisz za wakacje!
girl
6,93zł/mies.
Kup na rok 69,30 zł zamiast 99 zł zł/rok
Nielimitowany dostęp miesięczny
14,90zł/mies.
Kup na miesiąc 178,80 zł/rok
Masz już dlaucznia.pl? Zaloguj się