Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne, jednomian, suma algebraiczna

W zadaniach matematycznych za pomocą liter oznaczamy: wartości szukane (niewiadome), ale także wartości, które się mogą zmieniać, czyli zmienne. Za pomocą działań takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie zmienne można połączyć zarówno ze sobą, jak i liczbami rzeczywistymi – w ten sposób powstaje wyrażenie algebraiczne.

Przykłady wyrażeń algebraicznych i ich nazw:
2n+1 2n + 1 to suma iloczynu liczb2 2 in n oraz liczby1 1
2\left(n+1\right) 2 (n + 1) to iloczyn liczby2 2 oraz sumy liczbn n i1 1
\left.\mleft.\left(n+1\right)\mright.\right.^{\mleft.2\mright.} (n + 1)2 to kwadrat sumy liczbyn n i1 1

• \textcolor{#005FD4}{2n} 2n oznacza 2\cdot n 2 ⋅ n . Kropki oznaczającej mnożenie liczby i zmiennej można nie pisać, należy tylko pamiętać, aby najpierw zapisać liczbę, a dopiero po niej zmienną.

Inne przykłady wyrażeń algebraicznych:
     x+2xy-\sqrt{5} x + 2xy − √5
     1-\frac{2}{x} 1 − 2x

     2a-3b+7c 2a − 3b + 7c

     19 19

     \sqrt{\left.\mleft.x\mright.\right.^{\mleft.2\mright.}+100} √x2 + 100

     xyz-6ab xyz − 6ab
     \frac{1}{5-y}+4 15 − y + 4

     1,5t^{\mleft.3\mright.}w^{\mleft.7\mright?}+\left.\mleft.z\mright.\right.^{\mleft.2\mright.} 1, 5t3w7 + z2

     -1-12x −1 − 12x

• \textcolor{#005FD4}{xyz} xyz oznacza \textcolor{#005FD4}{x\cdot y\cdot z} x ⋅ y ⋅ z . Kropki oznaczającej mnożenie zmiennych można nie pisać.

Wyrażenie algebraiczne, które jest iloczynem liczb i zmiennych to jednomian.
Przykłady jednomianów:
3n 3n – iloczyn liczb3 3 in n
\left.\mleft.3n\mright.\right.^{\mleft.2\mright.} 3n2 – iloczyn liczby3 3 i kwadratu liczbyn n
3mn^{\mleft.2\mright.} 3mn2 – iloczyn liczby3 3 , liczby\left.\right.m m i sześcianu liczbyn n
n n – liczban n
3 3 – liczba3 3

Liczbę występującą w uporządkowanym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu. Na przykład jednomian3n\cdot 4n^{\mleft.2\mright.} 3n ⋅ 4n2 po uporządkowaniu ma postać12n^{\mleft.3\mright.} 12n3 . Jego współczynnikiem liczbowym jest liczba12 12 .

• Uporządkowanie jednomianu polega na zapisaniu liczb i liter w kolejności:
  najpierw liczba, potem litery w porządku alfabetycznym.
• Jeśli współczynnik liczbowy jednomianu wynosi1 1 , to pomija się go w zapisie, np. zamiast 1xy^{\mleft.2\mright.} 1xy2 pisze sięxy^{\mleft.2\mright.} xy2 .

Suma kilku jednomianów to suma algebraiczna, np. 14x^{\mleft.5\mright.}+3+2xy+y 14x5 + 3 + 2xy + y . Jednomiany wchodzące w skład tej sumy to wyrazy sumy algebraicznej. Suma14x^{\mleft.5\mright.}+3+2xy+y 14x5 + 3 + 2xy + y składa się z 4 wyrazów: 14x^{\mleft.5\mright.} 14x5 , 3 3 , 2xy 2xy orazy y .

• Wyrażenie14x^{\mleft.5\mright.}-3-2xy+y 14x5 − 3 − 2xy + y jest także sumą algebraiczną, ponieważ każdą różnicę można zapisać jako sumę: 14x^{\mleft.5\mright.}+\left(-3\right)\left.\right.+\left(-2xy\right)\left.\right.+y 14x5 + (−3)+ (−2xy)+ y . Suma14x^{\mleft.5\mright.}-3-2xy+y 14x5 − 3 − 2xy + y składa się z wyrazów: \textcolor{#005FD4}{14x^{\mleft.5\mright.}} 14x5 , \textcolor{#005FD4}{-3} −3 , \textcolor{#005FD4}{-2xy} −2xy oraz\textcolor{#005FD4}{y.} y.

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

Dla każdego wyrażenia algebraicznego można obliczyć jego wartość liczbową. W miejsce liter wstawiamy odpowiednie liczby, a następnie wykonujemy działania na liczbach, np.:

• Dlax=\textcolor{#E94D00}{1} x  =  1 iy=\textcolor{#005FD4}{-2} y  =  −2 wartość liczbowa wyrażenia4x^{\mleft.2\mright.}y^{\mleft.2\mright.}+y 4x2y2 + y jest równa 14 14 :
  4\cdot \textcolor{#E94D00}{1}^{\mleft.2\mright.}\cdot \left(\textcolor{#005FD4}{-2}\right)^{\mleft.2\mright.}+\left(\textcolor{#005FD4}{-2}\right)\left.\right.= 4 ⋅ 12 ⋅ (−2)2 + (−2)=
  =4\cdot 1\cdot 4-2=14 =  4 ⋅ 1 ⋅ 4 − 2  =  14
  Natomiast dlax=\textcolor{#E94D00}{-\frac{1}{2}} x  =  −12 iy=\textcolor{#005FD4}{5} y  =  5 wyrażenie4x^{\mleft.2\mright.}y^{\mleft.2\mright.}+y 4x2y2 + y przyjmie wartość20 20 :
  4\cdot \left(\textcolor{#E94D00}{-\frac{1}{2}}\right)^{\mleft.2\mright.}\cdot \textcolor{#005FD4}{5}^{\mleft.2\mright.}+\textcolor{#005FD4}{5}= 4 ⋅ (−12)2 ⋅ 52 + 5  =
  4\cdot \frac{1}{4}\cdot \left.\right.25+5=30 4 ⋅ 14 ⋅ 25 + 5  =  30
• Dlaa=\textcolor{#E94D00}{\sqrt{2}} a  =  √2 , b=\textcolor{#005FD4}{3} b  =  3 ic=\textcolor{#75A600}{-1} c  =  −1 wartość liczbowa wyrażenia2a-a^{\mleft.2\mright.}\cdot b\cdot c 2a − a2 ⋅ b ⋅ c jest równa\left(2\sqrt{2}+6\right): (2√2 + 6):
  2\cdot \textcolor{#E94D00}{\sqrt{2}}-\left.\mleft.\left(\textcolor{#E94D00}{\sqrt{2}}\right)\mright.\right.^{\mleft.2\mright.}\cdot \textcolor{#005FD4}{3}\cdot \left(\textcolor{#75A600}{-1}\right)\left.\right.= 2 ⋅ √2 − (√2)2 ⋅ 3 ⋅ (−1)=
  =2\sqrt{2}-\left(-6\right)\left.\right.=2\sqrt{2}+6 =  2√2 − (−6)=  2√2 + 6
  
  Dlaa=\textcolor{#E94D00}{4} a  =  4 , b=\textcolor{#005FD4}{-8} b  =  −8 ic=\textcolor{#75A600}{0} c  =  0 jego wartość wyniesie 8 8 :
  2\cdot \textcolor{#E94D00}{4}\textcolor{#000000}{-}\textcolor{#E94D00}{\left.\mleft.4\mright.\right.}\textcolor{#000000}{^{\mleft.2\mright.}\cdot \left(\textcolor{#005FD4}{-8}\right)\left.\right.\cdot }\textcolor{#75A600}{0}\textcolor{#000000}{=8} 2 ⋅ 4 − 42 ⋅ (−8)⋅ 0  =  8

Działania na wyrażeniach algebraicznych

Dodawanie, odejmowanie, redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy sumy algebraicznej można dodawać i odejmować tylko wtedy, gdy są podobne, tzn. zbudowane są z tych samych liter w tych samych potęgach, a różnią się tylko współczynnikami liczbowymi.

Przykłady wyrazów podobnych:

• 2x 2x i5x 5x
• 10xy 10xy i-10xy −10xy
• 5x^{\mleft.3\mright.}y^{\mleft.2\mright.} 5x3y2 i-x^{\mleft.3\mright.}y^{\mleft.2\mright.} −x3y2

• Dla wygody obliczeń wyrazy podobne warto podkreślać w taki sam sposób.
• Suma dwóch wyrazów podobnych, których współczynniki liczbowe są liczbami przeciwnymi, jest równa 0.

Mnożenie

Aby pomnożyć jednomiany, stosujemy zasadę: liczby przez liczby, a litery przez litery:

• \textcolor{#E94D00}{3}x\cdot \textcolor{#E94D00}{2}y=\textcolor{#E94D00}{6}xy 3x ⋅ 2y  =  6xy
• \textcolor{#005FD4}{10}x^{\mleft.2\mright.}\cdot \left(\textcolor{#005FD4}{-4}xy^{\mleft.2\mright.}\right)=\textcolor{#005FD4}{-40}x^{\mleft.3\mright.}y^{\mleft.2\mright.} 10x2 ⋅ (−4xy2)=  −40x3y2
• \textcolor{#75A600}{-\frac{1}{2}}y^{\mleft.2\mright.}\cdot \textcolor{#75A600}{\sqrt{3}}xz\cdot \textcolor{#75A600}{5}z=\textcolor{#75A600}{-\frac{5\sqrt{3}}{2}}xy^{\mleft.2\mright.}z^{\mleft.2\mright.} −12y2 ⋅ √3xz ⋅ 5z  =  −5√32xy2z2

Jeśli przed nawiasem jest minus, to możemy nawias opuścić pod warunkiem, że zmieniamy znaki na przeciwne we wszystkich wyrazach wewnątrz nawiasu:

• \textcolor{#E94D00}{-}\left(4x-5y+10z\right)=-4x+5y-10z − (4x − 5y + 10z)=  −4x + 5y − 10z
• \textcolor{#E94D00}{-}3\left(-x+2y-6z\right)=3x-6y+18z −3 (−x + 2y − 6z)=  3x − 6y + 18z
• \textcolor{#E94D00}{-}2x\left(8-3x+4y\right)= −2x (8 − 3x + 4y)=
  =-16x+6x^{\mleft.2\mright.}-8xy =  −16x + 6x2 − 8xy

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Wyrazy sumy algebraicznej zawierają czasami wspólny czynnik będący jednomianem. Możemy wtedy wyciągnąć ten jednomian przed nawias, a w nawiasie pozostawić pozbawione tego czynnika wyrazy. Takie przekształcenie nazywamy wyłączaniem wspólnego czynnika poza nawias.

• 4x-8y=\textcolor{#005FD4}{4}x-\textcolor{#005FD4}{4}\cdot 2y=\textcolor{#005FD4}{4}\left(x-2y\right) 4x − 8y  =  4x − 4 ⋅ 2y  =  4 (x − 2y)
• 5x^{\mleft.2\mright.}+6x=5x\cdot \textcolor{#E94D00}{x}\left.\right.+\left.\right.6\cdot \textcolor{#E94D00}{x}= 5x2 + 6x  =  5x ⋅ x + 6 ⋅ x  =
  =\textcolor{#E94D00}{x}\left(5x+6\right) =  x (5x + 6)
• -28xy^{\mleft.3\mright.}-y^{\mleft.4\mright.}+9y^{\mleft.2\mright.}z= −28xy3 − y4 + 9y2z  =
  =-28xy\cdot y^{\mleft.2\mright.}-y^{\mleft.2\mright.}\cdot \left.\mleft.y\mright.\right.^{\mleft.2\mright.}+9\cdot y^{\mleft.2\mright.}\cdot z= =  −28xy ⋅ y2 − y2 ⋅ y2 + 9 ⋅ y2 ⋅ z  =
  =y^{\mleft.2\mright.}\left(-28xy-y^{\mleft.2\mright.}+9z\right) =  y2 (−28xy − y2 + 9z)

• Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias jest czynnością odwrotną do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.
• Umiejętność wyłączania wspólnego czynnika przed nawias przydaje się m.in. podczas przeprowadzania dowodów podzielności liczb i rozkładania sum algebraicznych na czynniki. Na przykład zapisanie wyrażenia4x-8y 4x − 8y w postaci4\left(x-2y\right) 4 (x − 2y) pokazuje, że całe wyrażenie jest podzielne przez4 4 .