Różnica n-tych potęg

Różnica n-tych potęg

Różnica n-tych potęg liczba a ib b to wzór postaci:

a^n-b^n= an − bn  =
=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}\cdot b+a^{n-3}\cdot b^2+\right. =  (a − b)(an−1 + an−2 ⋅ b + an−3 ⋅ b2 +
+\left....+a^2\cdot b^{n-3}+a\cdot b^{n-2}+b^{n-1}\right) + ... + a2 ⋅ bn−3 + a ⋅ bn−2 + bn−1)

Wzór ten umożliwia m.in.

• Zamianę niektórych sum algebraicznych na iloczyn, np.
  =x^4-3^4= =  x4 − 34  =
  =\left(x-3\right)\left(x^3+3x^2+9x+27\right) =  (x − 3)(x3 + 3x2 + 9x + 27)
• Zamianę iloczynu na sumę algebraiczną, np.
  \mleft(x\! \; -\! \; 2\mright)\mleft(x^{4\! }\! \; +\! \; 2x^{3\! }\! \; +\! \; 4x^{2\! }\! \; +\! \; 8x\! \; +\! \; 16\mright)\! \; = (x​​−​​2)(x4​​​+​​2x3​​​+​​4x2​​​+​​8x​​+​​16)​​=
  =x^5-2^5= =  x5 − 25  =
  =x^5-32 =  x5 − 32
  
  

Różnica n-tych potęg liczba a i1 1 to wzór postaci:

a^n-1= an − 1  =
=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+a^{n-3}+\right. =  (a − 1)(an−1 + an−2 + an−3 +
+\left....+a^2+a+1\right) + ... + a2 + a + 1)

Przykłady:

●x^4-1=\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x+1\right) x4 − 1  =  (x − 1)(x3 + x2 + x + 1)

●\mleft(x-1\mright)\mleft(x^{4\! }+x^{3\! }+x^{2\! }+x+1\mright)=x^{5\! }-1 (x − 1)(x4​ + x3​ + x2​ + x + 1)  =  x5​ − 1