Podoba Ci się dlaucznia.pl? Możesz kupić dostęp na rok już od 8,25 zł za jeden przedmiot

Najczęściej stosowanymi wzorami skróconego mnożenia są wzory związane:

z drugimi potęgami:

  • kwadrat sumy
  • kwadrat różnicy
  • różnica kwadratów

z trzecimi potęgami:

  • sześcian sumy
  • sześcian różnicy
  • suma sześcianów
  • różnica sześcianów

W tej lekcji omówimy jeszcze dwa wzory związane z n-tymi potęgami dwóch liczb:

  • różnicę n-tych potęg liczb a i b
  • różnicę n-tej potęgi liczby a i liczby 1 (czyli różnicę n-tych potęg liczb a i b, gdy b  =  1)

Wszystkie wzory skróconego mnożenia są równaniami. Dla każdego z nich pokażemy na przykładach dwa sposoby ich wykorzystania:

od lewej do prawej strony

oraz

od prawej do lewej.

Kwadrat sumy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:

(a + b)2  =  a2 + 2ab + b2

Przykłady

1. Zamiana iloczynu na sumę algebraiczną

(x + 3)2  =  x2 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32  =
=  x2 + 6x + 9

Wyrażenie (x + 3)2 możemy nazwać też iloczyn, ponieważ jest to mnożenie dwóch sum: (x + 3)(x + 3).

2. Zamiana sumy algebraicznej na iloczyn

x2 + 10x + 25  =  x2 + 2 ⋅ 5 ⋅ x + 52  =
=  (x + 5)2

Kwadrat różnicy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:

(a − b)2  =  a2 − 2ab + b2

Przykłady

1. Zamiana iloczynu na sumę algebraiczną

(x − 3)2  =  x2 − 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32  =
=  x2 − 6x + 9

Wyrażenie (x − 3)2 możemy nazwać też iloczyn, ponieważ jest to mnożenie dwóch różnic: (x − 3)(x − 3).

2. Zamiana sumy algebraicznej na iloczyn

x2 − 10x + 25  =  x2 − 2 ⋅ 5 ⋅ x + 52  =
=  (x − 5)2

Różnica kwadratów

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:

a2 − b2  =  (a − b)(a + b)

Przykłady

1. Zamiana sumy algebraicznej na iloczyn

x2 − 49  =  x2 − 72  =  (x − 7)(x + 7)

2. Zamiana iloczynu na sumę algebraiczną

(x − 10)(x + 10)  =  x2 − 102  =  x2 − 100

Sześcian sumy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:

(a + b)3  =  a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Przykłady

1. Zamiana iloczynu na sumę algebraiczną

(x + 4)3  =  x3 + 3x2 ⋅ 4 + 3x ⋅ 42 + 43  =
=  x3 + 12x2 + 48x + 64

2. Zamiana sumy algebraicznej na iloczyn

x3 + 15x2 + 75x + 125  =
=  x3 + 3x2 ⋅ 5 + 3x ⋅ 52 + 53  =  (x + 5)3

Sześcian różnicy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:

(a − b)3  =  a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Przykłady

1. Zamiana iloczynu na sumę algebraiczną

(x − 4)3  =  x3 − 3x2 ⋅ 4 + 3x ⋅ 42 − 43  =
=  x3 − 12x2 + 48x − 64

2. Zamiana sumy algebraicznej na iloczyn

x3 − 15x2 + 75x − 125  =
=  x3 − 3x2 ⋅ 5 + 3x ⋅ 52 − 53  =  (x − 5)3

Suma sześcianów

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:

a3 + b3  =  (a + b)(a2 − ab + b2)

Przykłady

1. Zamiana sumy algebraicznej na iloczyn

x3 + 64  =  x3 + 43  =
=  (x + 4)(x2 − x ⋅ 4 + 42)  =
=  (x + 4)(x2 − 4x + 16)

2. Zamiana iloczynu na sumę algebraiczną

(x + 10)(x2 − 10x + 100)  =
=  (x + 10)(x2 − x ⋅ 10 + 102)  =
=  x3 + 103  =  x3 + 1000

Różnica sześcianów

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b:

a3 − b3  =  (a − b)(a2 + ab + b2)

Przykłady

1. Zamiana sumy algebraicznej na iloczyn

x3 − 64  =  x3 − 43  =
=  (x − 4)(x2 + x ⋅ 4 + 42)  =
=  (x − 4)(x2 + 4x + 16)

2. Zamiana iloczynu na sumę algebraiczną

(x − 10)(x2 + 10x + 100)  =
=  (x − 10)(x2 + x ⋅ 10 + 102)  =
=  x3 − 103  =  x3 − 1000

Różnica n-tych potęg dwóch liczb a i b

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b oraz liczby naturalnej n  ≥  2:

an − bn  =
=(a − b)(an1 + an2 ⋅ b + an3 ⋅ b2 +

+... + a2 ⋅ bn3 + a ⋅ bn2 + bn1)

Przykłady

1. Zamiana sumy algebraicznej na iloczyn

x5 − 32  =
=  x5 − 25  =
=(x2)(x4+x3 ⋅ 2+x2 ⋅ 22+x ⋅ 23+24)=
=  (x − 2)(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)

2. Zamiana iloczynu na sumę algebraiczną

(x − 3)(x4 + 3x3 + 9x2 + 27x + 81)  =
=(x3)(x4+x3 ⋅ 3+x2 ⋅ 32+x ⋅ 33+34)=
=  x5 − 35  =
=  x5 − 243

Różnica n-tych potęg dwóch liczb: a i 1, czyli różnica n-tej potęgi liczby a i liczby 1

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz liczby naturalnej n  ≥  2:

an − 1n  =
=(a − 1)(an1 + an2 ⋅ 1 + an3 ⋅ 12 +

+... + a2 ⋅ 1n3 + a ⋅ 1n2 + 1n1)

czyli:

an − 1  =
=  (a − 1)(an1 + an2 + an3 +
+... + a2 + a + 1)

Przykłady

1. Zamiana sumy algebraicznej na iloczyn

x5 − 1  =
=  x5 − 15  =
=  (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)

2. Zamiana iloczynu na sumę algebraiczną

(x − 1)(x7 + x6 + x5 + x4 + x3 +
+x2 + x + 1)=
=  x8 − 18  =
=  x8 − 1

Lubisz naukę z dlaucznia.pl? Odbierz swój rabat na dostęp nielimitowany i korzystaj ze wszystkich przedmiotów za jedyne
8.25 -25%
8,25 zł/przedmiot
Cena za całość: 74,25 zł
Podoba Ci się dlaucznia.pl? Możesz kupić dostęp na rok już od 8,25 zł za jeden przedmiot