Wyznaczanie współrzędnych punktu w symetrii względem osiOX i OY
Poniżej znajduje się rysunek przedstawiający punktP (2, 3), który został symetrycznie odbity względem osi OX i OY:
![W układzie współrzędnych zaznaczone punkty: P(2,3), P'(2,–3) oraz P"(–2,3).](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/664913ab133c78c03ddf835af8a868ad.png-ada20686cf39dafc7a694440dcc641ac.webp)
![W tabeli wypisane współrzędne punktów: P(2, 3), P'(2, –3), P"(–2, 3) oraz P(x, y), P'(x, –y), P"(–x, y).](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/617e79967e4c45910a58100641030e98.png-d3a7bd4223b42c4ec7fa8b3c41dd1be9.webp)
Symetria wykresu funkcjiy = f(x) względem osi OX
Na rysunku znajdują się wykresy funkcjif(x) oraz g(x) = −f(x):
![Wykresy funkcji: f(x) i g(x)=–f(x). Funkcja f określona na przedziale: <–3; 6>. Wykres f: łamana składająca się z 4 odcinków.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/7eab14d2984c873f701f845603accbf2.png-8203c20b4278bdff0ac3cb29e14ee370.webp)
Wykres funkcjig(x) = −f(x) można otrzymać z wykresu funkcji f(x) przez symetryczne odbicie go względem osi OX.
- Funkcjef ig dla tych samych argumentów przyjmują wartości przeciwne, np. jeślif(6) = 2, tog(6) = −2.
Inne przykłady wykresów funkcjif(x) oraz g(x) = −f(x)
![Trzy przykłady wykresów funkcji: f(x) oraz g(x)=–f(x). Funkcje f określone na przedziałach: <1; 4>, <–2; 3), R.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/copy/08a3b6cad7fdf78b73d95bd8bbe5e7c9-95b22e3d44ec12bd75c319d60a47f543.gif)
- Zauważ, że dziedziny funkcjif(x) orazg(x) = −f(x) są takie same, natomiast zbiory wartości tych funkcji są różne.
Symetria wykresu funkcjiy = f(x) względem osi OX a wzory różnych funkcji
![W tabeli wybrane wzory funkcji oraz ich postacie po odbiciu symetrycznym względem osi OX, np. y=6x, y=–6x.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/4e7d718d28de70ed1f62f940d3e9ed7e.png-084e1a67f6e413e1e7b9a4c80ae23492.webp)
Symetria wykresu funkcjif względem osi OY
Na rysunku znajdują się wykresy funkcjif(x) oraz g(x) = f(−x):
![Wykresy funkcji: f(x) i g(x)=f(–x). Funkcja f określona na przedziale: <1; 6>. Wykres f: łamana.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/55aca4c81e275e075eeb04c607091d08.png-b1a4d15529586a373b356c631cf0cc58.webp)
Wykres funkcjig(x) = f(−x) można otrzymać z wykresu funkcji f(x) przez symetryczne odbicie go względem osi OY.
- Funkcjef ig dla argumentów będących liczbami przeciwnymi przyjmują te same wartości, np. jeślif(4) = 3, tog(−4) = 3.
Inne przykłady wykresów funkcjif(x) oraz g(x) = f(−x)
![Trzy przykłady wykresów funkcji: f(x) oraz g(x)=f(–x). Funkcje f określone na przedziałach: <1; 4>, <–2; 3), R.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/copy/febd120c807a59b16629a1a3dcd758e9-f9aa2f7a432ad8750b1a0a5ac2481488.gif)
- Zauważ, że dziedziny funkcjif(x) orazg(x) = f(−x) mogą być różne, natomiast zbiory wartości funkcjif ig są takie same.
Symetria wykresu funkcjiy = f(x) względem osi OY a wzory różnych funkcji
![W tabeli wybrane wzory funkcji oraz ich postacie po odbiciu symetrycznym względem osi OY, np. y=6x, y=–6x.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/219878d9b037c667b8bceb7b0e4cf1cf.png-73b5346ccdf8634e7bf2df6aaa4e4593.webp)
- W przypadku funkcjiy = 6x, y = x3 orazy = 1x wzory otrzymane po odbiciu symetrycznym ich wykresów względem osiOY (y = −6x, y = −x3 orazy = −1x) są takie same jak po ich odbiciu symetrycznym względem osiOX (y = −6x, y = −x3 orazy = −1x).
- W przypadku funkcjiy = √x dziedzinax ≥ 0 uległa zmianie, ponieważ liczba pod pierwiastkiem parzystego stopnia nie może być ujemna, czyli−x ≥ 0, skądx ≤ 0.
Łączenie symetrii względem osi układu współrzędnych
Symetrie względem osi układu współrzędnych można łączyć ze sobą, tj. wykonywać odbicia jedne po drugim. Na poniższym rysunku znajdują się wykresy funkcjif, g i h, takie, że:
● wykres funkcjig otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OX wykresu funkcji f, zatem g(x) = −f(x),
● wykres funkcjih otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OY wykresu funkcji g, zatem h(x) = g(−x). Wzór funkcji h możemy też zapisać w postaci: h(x) = g(−x) = −f(−x).
![Wykresy funkcji: f(x), g(x)=–f(x), h(x)=g(–x). Funkcja f określona na przedziale: <1; 4>, wykres f: łamana.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/38527221a23462d657f0fc03425ab10a.png-be4198ae76767f09b8a8542fbf4a6bd1.webp)
Jeśli zmienimy kolejność przekształceń, czyli wykres funkcjif odbijemy symetrycznie najpierw względem osi OY, a następnie otrzymany wykres względem osi OX, to wykres funkcji h pozostanie bez zmian.
● g(x) = f(−x),
● h(x) = −g(x) = −f(−x).
![Wykresy funkcji: f(x), g(x)=f(–x), h(x)=–g(x). Funkcja f określona na przedziale: <1; 4>, wykres f: łamana.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/cfe56e353501bcd98850c7177a853650.png-3030db8e6fc45dd77ef118ff1cd05b4d.webp)
- Kolejność odbijania wykresów funkcji względem osi układu współrzędnych nie ma znaczenia dla wyniku końcowego.
- Przekształcenie polegające na wykonaniu dwóch symetrycznych odbić względem jednej osi układu współrzędnych, a następnie względem drugiej osi nazywamy symetrią środkową względem początku układu współrzędnych (punktu(0, 0)).
- Dziedziny i zbiory wartości funkcjif orazh:
![Dziedzina f: <1; 4>, zbiór wartości f: <1; 2>. Dziedzina h: <–4; –1>, zbiór wartości h: <–2; –1>.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/1e0c2f86947b7193f8dbeaa035cb371f.png-f5062cb05bff6b21fcfe13046a043109.webp)
Łączenie symetrii a wzory różnych funkcji
![W tabeli wybrane wzory funkcji oraz ich postacie po odbiciu symetrycznym względem osi OX i OY, np. y=6x, y=–6(–x)=6x.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/8e68893c7c4397c290d5247f2c3b8855.png-c4cd6392137cb43e87003afb99f5b76c.webp)
Łączenie symetrii – zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1. Dana jest funkcjaf(x) = 5x − 9. Zapisz wzór funkcji otrzymanej po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji f:
a) względem osiOX,
b) względem osiOY,
c) najpierw względem osiOX, następnie względem osi OY,
d) najpierw względem osiOY, następnie względem osi OX.
Rozwiązanie:
a) g(x) = −f(x) = −(5x − 9) = −5x + 9
b) g(x) = f(−x) = 5(−x) − 9 = −5x − 9
c) po odbiciu względem osiOX: g(x) = −f(x) = −5x + 9
następnie po odbiciu względem osiOY: h(x) = g(−x) = −5(−x) + 9 = 5x + 9
d) po odbiciu względem osiOY: g(x) = f(−x) = −5x − 9
następnie po odbiciu względem osiOX: h(x) = −g(x) = −(−5x − 9) = 5x + 9
- Kolejność wykonywania symetrii względem osiOX iOY nie ma znaczenia dla wyniku końcowego. W podpunktach c) i d) otrzymaliśmy taki sam końcowy wzór funkcji.
Zadanie 2. Dana jest funkcjaf(x) = 2x2 + x − 1. Zapisz wzór funkcji otrzymanej po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji f:
a) względem osiOX,
b) względem osiOY,
c) najpierw względem osiOX, następnie względem osi OY,
d) najpierw względem osiOY, następnie względem osi OX.
Rozwiązanie:
a) g(x) = −f(x) = −(2x2 + x − 1) =
= −2x2 − x + 1
b) g(x) = f(−x) = 2(−x)2 + (−x) − 1 =
= 2x2 − x − 1
c) po odbiciu względem osiOX: g(x) = −f(x) = −2x2 − x + 1
następnie po odbiciu względem osiOY: h(x) = g(−x) = −2(−x)2 − (−x) + 1 =
= −2x2 + x + 1
d) po odbiciu względem osiOY: g(x) = f(−x) = 2x2 − x − 1
następnie po odbiciu względem osiOX: h(x) = −g(x) = −(2x2 − x − 1) =
= −2x2 + x + 1
Łączenie symetrii i przesunięć – zadania z rozwiązaniami
Zadanie 1. Naszkicuj wykres funkcjif(x) = ∣x∣, a następnie wykresy funkcji g(x) = f(x + 3), h(x) = −f(x + 3).
Rozwiązanie:
Krok 1. Szkicujemy wykres funkcjif(x) = ∣x∣.
Krok 2. Wykres funkcjig(x) = f(x + 3) = ∣x + 3∣ otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji f o 3 jednostki w lewo.
Krok 3. Wykres funkcjih(x) = −f(x + 3) = −∣x + 3∣ otrzymamy po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji g względem osi OX.
![Wykresy funkcji: f(x)=|x|, g(x)=f(x+3)=|x+3|oraz h(x)= –f(x+3)= –|x+3|.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/75621d1bee0e1e1c86b453e7d35ab6ea.png-6c25eb4efd0b849957d763fbbb5c5f54.webp)
Zadanie 2. Na rysunku znajdują się wykresy funkcji określonych wzoramif(x) = x3, g(x) = (x − 4)3 oraz h(x) = −(x − 4)3. Dopasuj wykresy do odpowiednich wzorów.
![Wykresy funkcji: f(x)=x^3, g(x)=f(x–4)=(x–4)^3 oraz h(x)=g(–x)=( –x–4)^3.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/049b51353f03c48bf0715e0e3beb97a2.png-119e894428c5d49787f6d6979043c4b8.webp)
Rozwiązanie:
● Środkowy wykres to wykres funkcjif(x) = x3.
● Wykres po prawej stronie otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcjif o 4 jednostki w prawo, czyli wykres funkcji f(x − 4). Będzie to zatem wykres funkcji g(x) = (x − 4)3.
● Wykres po lewej stronie otrzymamy po odbiciu symetrycznym względem osiOY wykresu funkcji g, czyli wykres g(−x). Będzie to zatem wykres funkcji h(x) = (−x − 4)3.
![Wykresy funkcji: w środku f(x)=x^3, po prawej g(x)=f(x–4)=(x–4)^3, po lewej h(x)=g(–x)=( –x–4)^3.](https://dtf1hz3qqlprg.cloudfront.net/data/scale-2400/af9b22df0c0e5c8efd7e72e08658d4cb.png-05404c547731638dfa67b036f33fd61b.webp)
liczba przeciwna
Aby wyznaczyć liczbę przeciwną do wskazanej liczby, należy ją
pomnożyć przez –1. Np. liczbą przeciwną do 2 jest –2,
liczbą przeciwną do –4 jest 4, liczbą przeciwną do1 − √2 jest −1 + √2 .