Podoba Ci się dlaucznia.pl? Możesz kupić dostęp na rok już od 8,25 zł za jeden przedmiot

Wyznaczanie współrzędnych punktu w symetrii względem osi OX i OY

Poniżej znajduje się rysunek przedstawiający punkt P(2, 3), który został symetrycznie odbity względem osi OX i OY:

W układzie współrzędnych zaznaczone punkty: P(2,3), P'(2,–3) oraz P"(–2,3).
W tabeli wypisane współrzędne punktów: P(2, 3), P'(2, –3), P"(–2, 3) oraz P(x, y), P'(x, –y), P"(–x, y).

Symetria wykresu funkcji y  =  f(x) względem osi OX

Na rysunku znajdują się wykresy funkcji f(x) oraz g(x)  =  −f(x):

Wykresy funkcji: f(x) i g(x)=–f(x). Funkcja f określona na przedziale: <–3; 6>. Wykres f: łamana składająca się z 4 odcinków.

Wykres funkcji g(x)  =  −f(x) można otrzymać z wykresu funkcji f(x) przez symetryczne odbicie go względem osi OX.

  • Funkcje f i g dla tych samych argumentów przyjmują wartości przeciwne, np. jeśli f(6)  =  2, to g(6)  =  −2.

Inne przykłady wykresów funkcji f(x) oraz g(x)  =  −f(x)

Trzy przykłady wykresów funkcji: f(x) oraz g(x)=–f(x). Funkcje f określone na przedziałach: <1; 4>, <–2; 3), R.
  • Zauważ, że dziedziny funkcji f(x) oraz g(x)  =  −f(x) są takie same, natomiast zbiory wartości tych funkcji są różne.

Symetria wykresu funkcji y  =  f(x) względem osi OX a wzory różnych funkcji

W tabeli wybrane wzory funkcji oraz ich postacie po odbiciu symetrycznym względem osi OX, np. y=6x, y=–6x.

Symetria wykresu funkcji f względem osi OY

Na rysunku znajdują się wykresy funkcji f(x) oraz g(x)  =  f(x):

Wykresy funkcji: f(x) i g(x)=f(–x). Funkcja f określona na przedziale: <1; 6>. Wykres f: łamana.

Wykres funkcji g(x)  =  f(x) można otrzymać z wykresu funkcji f(x) przez symetryczne odbicie go względem osi OY.

  • Funkcje f i g dla argumentów będących liczbami przeciwnymi przyjmują te same wartości, np. jeśli f(4)  =  3, to g(−4)  =  3.

Inne przykłady wykresów funkcji f(x) oraz g(x)  =  f(x)

Trzy przykłady wykresów funkcji: f(x) oraz g(x)=f(–x). Funkcje f określone na przedziałach: <1; 4>, <–2; 3), R.
  • Zauważ, że dziedziny funkcji f(x) oraz g(x)  =  f(x) mogą być różne, natomiast zbiory wartości funkcji f i g są takie same.

Symetria wykresu funkcji y  =  f(x) względem osi OY a wzory różnych funkcji

W tabeli wybrane wzory funkcji oraz ich postacie po odbiciu symetrycznym względem osi OY, np. y=6x, y=–6x.
  • W przypadku funkcji y  =  6x, y=  x3 oraz y  =  1x wzory otrzymane po odbiciu symetrycznym ich wykresów względem osi OY (y  =  −6x, y=  −x3 oraz y  =  −1x) są takie same jak po ich odbiciu symetrycznym względem osi OX (y  =  −6x, y=  −x3 oraz y  =  −1x).
  • W przypadku funkcji y  =  x dziedzina x  ≥  0 uległa zmianie, ponieważ liczba pod pierwiastkiem parzystego stopnia nie może być ujemna, czyli x  ≥  0, skąd x  ≤  0.

Łączenie symetrii względem osi układu współrzędnych

Symetrie względem osi układu współrzędnych można łączyć ze sobą, tj. wykonywać odbicia jedne po drugim. Na poniższym rysunku znajdują się wykresy funkcji f, g i h, takie, że:

wykres funkcji g otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OX wykresu funkcji f, zatem g(x)  =  −f(x),

wykres funkcji h otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OY wykresu funkcji g, zatem h(x)  =  g(x). Wzór funkcji h możemy też zapisać w postaci: h(x)  =  g(x)  =  −f(x).

Wykresy funkcji: f(x), g(x)=–f(x), h(x)=g(–x). Funkcja f określona na przedziale: <1; 4>, wykres f: łamana.

Jeśli zmienimy kolejność przekształceń, czyli wykres funkcji f odbijemy symetrycznie najpierw względem osi OY, a następnie otrzymany wykres względem osi OX, to wykres funkcji h pozostanie bez zmian.

g(x)  =  f(x),

h(x)  =  −g(x)  =  −f(x).

Wykresy funkcji: f(x), g(x)=f(–x), h(x)=–g(x). Funkcja f określona na przedziale: <1; 4>, wykres f: łamana.
  • Kolejność odbijania wykresów funkcji względem osi układu współrzędnych nie ma znaczenia dla wyniku końcowego.
  • Przekształcenie polegające na wykonaniu dwóch symetrycznych odbić względem jednej osi układu współrzędnych, a następnie względem drugiej osi nazywamy symetrią środkową względem początku układu współrzędnych (punktu (0, 0)).
  • Dziedziny i zbiory wartości funkcji f oraz h:
Dziedzina f: <1; 4>, zbiór wartości f: <1; 2>. Dziedzina h: <–4; –1>, zbiór wartości h: <–2; –1>.

Łączenie symetrii a wzory różnych funkcji

W tabeli wybrane wzory funkcji oraz ich postacie po odbiciu symetrycznym względem osi OX i OY, np. y=6x, y=–6(–x)=6x.

Łączenie symetrii – zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1. Dana jest funkcja f(x)  =  5x − 9. Zapisz wzór funkcji otrzymanej po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji f:

a) względem osi OX,

b) względem osi OY,

c) najpierw względem osi OX, następnie względem osi OY,

d) najpierw względem osi OY, następnie względem osi OX.

Rozwiązanie:

a) g(x)  =  −f(x)  =  −(5x − 9)  =  −5x + 9

b) g(x)  =  f(x)  =  5(x) − 9  =  −5x − 9

c) po odbiciu względem osi OX: g(x)  =  −f(x)  =  −5x + 9
następnie po odbiciu względem osi OY: h(x)  =  g(x)  =  −5(x) + 9  =  5x + 9

d) po odbiciu względem osi OY: g(x)  =  f(x)  =  −5x − 9
następnie po odbiciu względem osi OX: h(x)  =  −g(x)  =  −(−5x − 9)  =  5x + 9

  • Kolejność wykonywania symetrii względem osi OX i OY nie ma znaczenia dla wyniku końcowego. W podpunktach c) i d) otrzymaliśmy taki sam końcowy wzór funkcji.

Zadanie 2. Dana jest funkcja f(x)  =  2x2 + x − 1. Zapisz wzór funkcji otrzymanej po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji f:

a) względem osi OX,

b) względem osi OY,

c) najpierw względem osi OX, następnie względem osi OY,

d) najpierw względem osi OY, następnie względem osi OX.

Rozwiązanie:

a)  g(x)  =  −f(x)  =  −(2x2 + x − 1)  =
=  −2x2 − x + 1

b) g(x)  =  f(x)  =  2(x)2 +(x) − 1  =
=  2x2 − x − 1

c) po odbiciu względem osi OX: g(x)  =  −f(x)  =  −2x2 − x + 1
następnie po odbiciu względem osi OY: h(x)  =  g(x)  =  −2(x)2 −(x) + 1  =
=  −2x2 + x + 1

d) po odbiciu względem osi OY: g(x)  =  f(x)  =  2x2 − x − 1
następnie po odbiciu względem osi OX: h(x)  =  −g(x)  =  −(2x2 − x − 1)  =
=  −2x2 + x + 1

Łączenie symetrii i przesunięć – zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1. Naszkicuj wykres funkcji f(x)  =  x, a następnie wykresy funkcji g(x)  =  f(x + 3), h(x)  =  −f(x + 3).

Rozwiązanie:

Krok 1. Szkicujemy wykres funkcji f(x)  =  x.

Krok 2. Wykres funkcji g(x)  =  f(x + 3)  =  x + 3 otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji f o 3 jednostki w lewo.

Krok 3. Wykres funkcji h(x)  =  −f(x + 3)  =  −x + 3 otrzymamy po odbiciu symetrycznym wykresu funkcji g względem osi OX.

Wykresy funkcji: f(x)=|x|, g(x)=f(x+3)=|x+3|oraz h(x)= –f(x+3)= –|x+3|.

Zadanie 2. Na rysunku znajdują się wykresy funkcji określonych wzorami f(x)  =  x3, g(x)  =  (x − 4)3 oraz h(x)  =  −(x − 4)3. Dopasuj wykresy do odpowiednich wzorów.

Wykresy funkcji: f(x)=x^3, g(x)=f(x–4)=(x–4)^3 oraz h(x)=g(–x)=( –x–4)^3.

Rozwiązanie:

Środkowy wykres to wykres funkcji f(x)  =  x3.

Wykres po prawej stronie otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji f o 4 jednostki w prawo, czyli wykres funkcji f(x − 4). Będzie to zatem wykres funkcji g(x)  =  (x − 4)3.

Wykres po lewej stronie otrzymamy po odbiciu symetrycznym względem osi OY wykresu funkcji g, czyli wykres g(x). Będzie to zatem wykres funkcji h(x)  =  (x − 4)3.

Wykresy funkcji: w środku f(x)=x^3, po prawej g(x)=f(x–4)=(x–4)^3, po lewej h(x)=g(–x)=( –x–4)^3.
Lubisz naukę z dlaucznia.pl? Odbierz swój rabat na dostęp nielimitowany i korzystaj ze wszystkich przedmiotów za jedyne
8.25 -25%
8,25 zł/przedmiot
Cena za całość: 74,25 zł
Podoba Ci się dlaucznia.pl? Możesz kupić dostęp na rok już od 8,25 zł za jeden przedmiot