Co to jest równanie kwadratowe?
Równanie kwadratowe to równanie, które można przedstawić w postaci ax2 + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0 oraz a, b, c są liczbami rzeczywistymi.
Równaniami kwadratowymi są na przykład:
- x2 = 5, bo można je przedstawić w postaci x2 − 5 = 0. Wtedy a = 1, b = 0, c = −5.
- 3x2 − x = 0. Współczynnikami są a = 3, b = −1, c = 0.
- (3x − 1)2 − 5x = 2x(x + 1), bo można je przekształcić do postaci 7x2 − 13x + 1 = 0. Współczynnikami są a = 7, b = −13, c = 1.
Równanie kwadratowe to równanie drugiego stopnia (drugiego, bo najwyższą potęgą x jest 2) z jedną niewiadomą (bo jedyną niewiadomą jest x).
Równaniami kwadratowymi nie są na przykład:
- x3 + x2 + x = 0, bo najwyższą potęgą x jest 3, zatem jest to równanie trzeciego stopnia.
- x2 − x(x − 1) − 5 = 0, bo można je przekształcić do postaci x − 5 = 0, w której nie występuje wyraz z x2.
Aby sprawdzić, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania (inaczej: czy dana liczba spełnia równanie), wystarczy ją podstawić do równania w miejsce x i sprawdzić, czy lewa strona równania L jest równa prawej stronie P.
Na przykład liczba −3 spełnia równanie x2 − 9 = 0, ponieważ po podstawieniu jej w miejsce x otrzymamy: L = (−3)2 − 9 = 0 oraz P = 0. Zatem L = P.
Rozwiązywanie wybranych równań kwadratowych
Niektóre równania kwadratowe możemy przekształcić do postaci:
- x2 = liczba, np. x2 = 5,
- iloczynu wyrażeń, np. x ⋅ (x − 3) = 0,
- kwadratu sumy lub różnicy, np. (x + 1)2 = 0.
Wtedy rozwiązanie otrzymamy bardzo szybko.
Przykład 1. Rozwiązanie widać na pierwszy rzut oka
Rozwiążmy równanie −x2 + 16 = 0.
Równanie to możemy zapisać w postaci równoważnej x2 = 16. Od razu widać rozwiązanie: x = 4 lub x = −4.
Zapamiętaj, że równanie x2 = 16 ma dwa rozwiązania: 4 i −4. Bardzo częstym błędem jest podawanie dla tego typu równań tylko jednego z rozwiązań.
Odpowiedź możemy zapisać w postaci zbioru rozwiązań: x ∈ {−4, 4}. Możemy też ponumerować liczby spełniające równanie: x1 = −4, x2 = 4. W ten sposób podkreślimy, że to równanie ma dwa rozwiązania.
Przykład 2. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
Rozwiążmy równanie 3x2 − 2x = 0.
Zauważamy, że po lewej stronie równania możemy wyłączyć x przed nawias:
3x2 − 2x = x ⋅ (3x − 2).
Równanie zapisujemy w postaci równoważnej:
x ⋅ (3x − 2) = 0
Iloczyn jest równy 0, jeśli jeden z czynników jest równy 0, zatem:
x = 0 lub 3x − 2 = 0
Rozwiązujemy drugie równanie (liniowe) i otrzymujemy x = 23.
Rozwiązaniem równania 3x2 − 2x = 0 są liczby x = 0 lub x = 23.
Odpowiedź możemy także zapisać w postaci x ∈ {0, 23} lub x1 = 0, x2 = 23.
Przykład 3. Wykorzystujemy wzory skróconego mnożenia
Rozwiążmy równanie x2 − 14x + 49 = 0.
Zauważamy, że lewą stronę równania możemy zastąpić kwadratem różnicy:
x2 − 14x + 49 = (x − 7)2.
Równanie zapisujemy w postaci równoważnej:
(x − 7)2 = 0
Tylko kwadrat liczby 0 jest równy 0, stąd:
x − 7 = 0
x = 7
Rozwiązaniem równania x2 − 14x + 49 = 0 jest liczba x = 7.
Odpowiedź możemy także zapisać w postaci x ∈ {7} lub x1 = x2 = 7.
Liczba rozwiązań równania kwadratowego
Równanie kwadratowe może:
- mieć dwa rozwiązania, np. równanie x2 = 9 jest spełnione przez dwie liczby: x1 = −3, x2 = 3.
- mieć jedno rozwiązanie, np. równanie x2 = 0 jest spełnione przez jedną liczbę x = 0.
- nie mieć rozwiązania, np. równania x2 = −25 nie spełnia żadna liczba.
Rozwiązywanie dowolnych równań kwadratowych
Rozwiązywanie dowolnego równania kwadratowego rozpoczynamy od przedstawienia go w postaci ax2 + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0 oraz a, b, c ∈ R.
Następnie:
Krok 1. Odczytujemy współczynniki a, b, c.
Krok 2. Obliczamy wartość trójmianu kwadratowego, czyli delty: Δ = b2 − 4ac.
Krok 3. Ustalamy liczbę rozwiązań równania, która zależy od znaku delty.
- Jeśli Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania, które obliczymy ze wzorów:
x1 = −b − √Δ2a, x2 = −b + √Δ2a - Jeśli Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie, które wyznaczymy ze wzoru:
x0 = −b2a - Jeśli Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązania.
Rozwiązania równania nazywamy również pierwiastkami równania.
Przykład 1.
Rozwiążmy równanie 4x2 − 7x − 2 = 0.
Krok 1. Odczytujemy współczynniki równania:
a = 4, b = −7, c = −2
Krok 2. Obliczamy deltę:
Δ = b2 − 4ac =
= (−7)2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (−2) = 49 + 32 = 81
Krok 3. Ponieważ Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania:
x1 = −b − √Δ2a =
= −(−7) − √812 ⋅ 4 = 7 − 98 = −28 = −14
x2 = −b + √Δ2a =
= −(−7) + √812 ⋅ 4 = 7 + 98 = 168 = 2
Rozwiązaniami równania 4x2 − 7x − 2 = 0 są liczby x1 = −14, x2 = 2.
Przykład 2.
Rozwiążmy równanie 12x2 + 3x + 92 = 0.
Krok 1. Odczytujemy współczynniki równania:
a = 12, b = 3, c = 92
Krok 2. Obliczamy deltę:
Δ = b2 − 4ac =
= 32 − 4 ⋅ 12 ⋅ 92 = 9 − 9 = 0
Krok 3. Ponieważ Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie:
x0 = −b2a = −32 ⋅ 12 = −31 = −3
Rozwiązaniem równania 12x2 + 3x + 92 = 0 jest liczba x = −3.
Przykład 3.
Rozwiążmy równanie −2x2 − 17 = 0.
Krok 1. Odczytujemy współczynniki równania:
a = −2, b = 0, c = −17
Krok 2. Obliczamy deltę:
Δ = b2 − 4ac =
= 02 − 4 ⋅ (−2) ⋅ (−17) = −136
Krok 3. Ponieważ Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązania.
Zadanie, w którym wykorzystujemy umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych
Zadanie. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x) = x2 − 4x + 3.
Rozwiązanie:
Aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji, musimy znaleźć takie wartości argumentów x, dla których funkcja f przyjmuje wartość 0, czyli rozwiązać równanie:
x2 − 4x + 3 = 0
Obliczamy deltę i pierwiastki:
Δ = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 16 − 12 = 4
√Δ = 2
x1 = −(−4) − 22 ⋅ 1 = 4 − 22 = 1
x2 = 4 + 22 = 62 = 3
Odpowiedź: Miejscami zerowymi funkcji f są x1 = 1, x2 = 3.
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a ≠ 0, to pierwiastki równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0.
równanie liniowe (równanie pierwszego stopnia) z dwiema niewiadomymi
to równanie postaci ax + by = c lub inne, które można przekształcić do takiej postaci, gdzie x i y są niewiadomymi, a a i b są dowolnymi liczbami.
Przykłady: 2x + y = 5, y = −2x + 5, 2x + y − 5 = 0
wzory skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia związane z drugimi potęgami
- Kwadrat sumy
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 - Kwadrat różnicy
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 - Różnica kwadratów
(a + b)(a − b) = a2 − b2
kwadrat różnicy
Kwadrat różnicy: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2