Wyrażenia wymierne

Dowolna liczba wymierna lub niewymierna.
Np.-2, −2, -\frac{3}{7}, −37, 0, 0, 0,\! \, \left(45\right), 0,​​(45), \sqrt{2}, √2, \pi , π, 3, 3, 5, 5, 7\frac{3}{7}, 737, 1500. 1500.

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy literą{\upshape \mathbf{R}}. R.

Różnica kwadratów:\mleft(a-b\mright)\mleft(a+b\mright)=a^2-b^2 (a − b)(a + b)  =  a2 − b2

Kwadrat sumy:\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2 (a + b)2  =  a2 + 2ab + b2

Stopień wielomianu zmiennejx x to najwyższa potęga zmiennejx x we wzorze wielomianu. Na przykład stopień wielomianuw\mleft(x\mright)=3x^4+x^3-5x^2+1 w(x)  =  3x4 + x3 − 5x2 + 1 jest równy4, 4, co zapisujemy jako\textrm{st (}w\textrm{) }=4. st (w) =  4.

Wielomianem stopnia pierwszego jest funkcja liniowa, np.g\mleft(x\mright)=5x+2, g(x)  =  5x + 2, \textrm{st (}g\textrm{) }=1. st (g) =  1.

Wielomianem stopnia zerowego jest funkcja stała różna od0, 0, np.h\mleft(x\mright)=4, h(x)  =  4, \textrm{st (}h\textrm{) }=0. st (h) =  0.

Trójmian kwadratowy to funkcja postaciy=ax^2+bx+c, y  =  ax2 + bx + c, gdziea,b,c\in \mathbf{R} a, b, c  ∈  R ia\neq 0. a  ≠  0. Na przykłady=4x^2-2x+3. y  =  4x2 − 2x + 3.

Różnica sześcianów:a^3-b^3=\mleft(a-b\mright)\mleft(a^2+ab+b^2\mright) a3 − b3  =  (a − b)(a2 + ab + b2)

Pierwiastek (miejsce zerowe) wielomianu to liczba, dla której wartość wielomianu jest równa0. 0.

Rozkład wielomianu na czynniki to przedstawienie go w postaci iloczynu dwóch lub więcej wielomianów.

Pierwiastki trójmianu kwadratowegoax^2+bx+c ax2 + bx + c to:
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}, x1  =  −b − √Δ2a, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}, x2  =  −b + √Δ2a, gdy\Delta \gt 0, Δ  >  0,
x_0=\frac{-b}{2a}, x0  =  −b2a, gdy\Delta =0, Δ  =  0,

gdzie\Delta =b^2-4ac. Δ  =  b2 − 4ac.

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków, gdy\Delta \lt 0. Δ  <  0.

Trójmian kwadratowyw\mleft(x\mright)=ax^2+bx+c, w(x)  =  ax2 + bx + c, gdziea\neq 0, a  ≠  0, można zapisać w postaci iloczynowej (rozłożyć na czynniki), jeśli\mathbf{\Delta \ge 0}, Δ  ≥  0, gdzie\Delta =b^2-4ac. Δ  =  b2 − 4ac.

●\mathbf{\Delta \gt 0}, Δ  >  0, wtedyw\mleft(x\mright)=a\mleft(x-x_1\mright)\mleft(x-x_2\mright), w(x)  =  a(x − x1)(x − x2), gdziex_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}, x1  =  −b − √Δ2a, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} x2  =  −b + √Δ2a

●\mathbf{\Delta =0}, Δ  =  0, wtedyw\mleft(x\mright)=a\mleft(x-x_0\mright)^2, w(x)  =  a(x − x0)2, gdziex_0=\frac{-b}{2a} x0  =  −b2a

Wielomianem stopnian n jednej zmiennejx x nazywamy funkcję postaci:
w\mleft(x\mright)\! \; =\! \; a_nx^{n\! }\! \; +\! \; a_{n-1}x^{n-1\! }\! \; +\! \; \textrm{...}\! \; +\! \; a_1x\! \; +\! \; a_0, w(x)​​=​​anxn​​​+​​an−1xn−1​​​+​​...​​+​​a1x​​+​​a0, gdziea_n\neq 0 an  ≠  0 in\in {\upshape \mathbf{N}}. n  ∈  N.

Dziedziną wielomianu jest zbiór liczb rzeczywistych.
Wielomianami są np.w\mleft(x\mright)=x^4+6x^3-3x^2+x, w(x)  =  x4 + 6x3 − 3x2 + x, v\mleft(x\mright)=x^2+3x-1, v(x)  =  x2 + 3x − 1, u\mleft(x\mright)=5x+2, u(x)  =  5x + 2, f\mleft(x\mright)=4. f(x)  =  4.